Resolva as EDOs abaixo por separação de variáveis
a)
b)
c)
d)
e)
a)
c)
e)
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede. Vou interpretar as notações ambíguas do jeito mais natural para EDOs separáveis (não pedirei confirmação, apenas tomo a forma padrão):
- (a) Dada a equação
. Pede-se encontrar . - (b) Dada a equação
. Pede-se encontrar . - (c) Dada a equação
. Pede-se encontrar . - (d) Dada a equação
. Pede-se encontrar . - (e) Dada a equação
, com constante. Pede-se encontrar .
Essas são as equações que vou resolver passo a passo.
Passo 2
Breve lembrete do método que vamos usar (sem resolver ainda): separação de variáveis. A ideia é reescrever a EDO numa forma
integrar ambos os lados e isolar
. Quando aparecer uma constante de integração, chamo-a de
ou
e, se conveniente, reescrevo a constante multiplicativa final como uma constante arbitrária
. Vou aplicar isso explicitamente em cada caso e explicar cada integral usada.
Passo 3
Escrevendo a equação:
Separei as variáveis multiplicando ambos os lados por
:
Integro ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito uso a substituição mental
,
, logo
. Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 4
A equação dada é
Supondo
, separo variáveis dividindo por
e multiplicando por
:
Integro ambos os lados:
As integrais resultam em logaritmos:
Posso reescrever
, então
Exponenciando ambos os lados, absorvendo
numa constante positiva arbitrária
, obtemos
Finalmente, escrevo a solução geral sem a barra de valor absoluto, com constante arbitrária
(que pode ser positiva, negativa ou zero):
Passo 5
A equação é
Uso a propriedade do exponencial
e separo as variáveis:
Integro ambos os lados:
Calculo cada integral. Para o lado esquerdo, uma primitiva de
é
porque
. Para o lado direito,
. Assim
Multiplico por
e renomeio a constante para obter forma mais simples:
Se desejar isolar
, tomo logaritmo (lembrando das restrições de sinal na constante):
logo
onde
é constante arbitrária (ajustada pelo sinal de multiplicação).
Passo 6
A equação original é
No lado direito fatoro
:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
para separar as variáveis, obtenho
Agora escrevo em forma de diferenciais:
Integro ambos os lados:
As integrais do lado direito são
e
. A integral do lado esquerdo é
. Portanto
Podemos reescrever a solução explícita isolando
:
onde
é constante de integração e o argumento do logaritmo deve ser positivo para
real.
Passo 7
Temos a EDO linear separável
com
constante. Separe variáveis dividindo por
:
Integro ambos os lados:
As integrais dão
. Exponenciando e renomeando a constante multiplicativa:
Absorvendo o sinal na constante
arbitrária, a solução geral é
onde
é uma constante real determinada pela condição inicial (se houver).