Resolva as EDOs abaixo por separação de variáveis
a) d y d x=\operatorname{sen}(5 x) b) x^{d y} d x=4 y
c) d y d x=e^{3 x+2 y} d) e^{x}{ }_{y}^{d y} d x=e^{-y}+e^{-2 x-y}
e) { }^{d Q} d t=k(Q-70)

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede. Vou interpretar as notações ambíguas do jeito mais natural para EDOs separáveis (não pedirei confirmação, apenas tomo a forma padrão):
  • (a) Dada a equação \dfrac{dy}{dx}=\sin(5x). Pede-se encontrar y(x).
  • (b) Dada a equação x\,\dfrac{dy}{dx}=4y. Pede-se encontrar y(x).
  • (c) Dada a equação \dfrac{dy}{dx}=e^{3x+2y}. Pede-se encontrar y(x).
  • (d) Dada a equação e^{x}\dfrac{dy}{dx}=e^{-y}+e^{-2x-y}. Pede-se encontrar y(x).
  • (e) Dada a equação \dfrac{dQ}{dt}=k(Q-70), com k constante. Pede-se encontrar Q(t).
Essas são as equações que vou resolver passo a passo.

Passo 2

Breve lembrete do método que vamos usar (sem resolver ainda): separação de variáveis. A ideia é reescrever a EDO numa forma
g(y)\,dy = f(x)\,dx,
integrar ambos os lados e isolar y. Quando aparecer uma constante de integração, chamo-a de C ou C_1 e, se conveniente, reescrevo a constante multiplicativa final como uma constante arbitrária C. Vou aplicar isso explicitamente em cada caso e explicar cada integral usada.

Passo 3

Escrevendo a equação:
\frac{dy}{dx}=\sin(5x).
Separei as variáveis multiplicando ambos os lados por dx:
dy=\sin(5x)\,dx.
Integro ambos os lados:
\int dy = \int \sin(5x)\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente y. Para a integral do lado direito uso a substituição mental u=5x, du=5\,dx, logo \int \sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x). Portanto
y=-\frac{1}{5}\cos(5x)+C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

A equação dada é
x\,\frac{dy}{dx}=4y.
Supondo x\neq0, separo variáveis dividindo por y e multiplicando por dx/x:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{4}{x}\,dx.
Integro ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{4}{x}\,dx.
As integrais resultam em logaritmos:
\ln|y| = 4\ln|x| + C.
Posso reescrever 4\ln|x|=\ln|x|^{4}, então
\ln|y| = \ln|x|^{4} + C.
Exponenciando ambos os lados, absorvendo e^{C} numa constante positiva arbitrária C_1, obtemos
|y| = C_1 x^{4}.
Finalmente, escrevo a solução geral sem a barra de valor absoluto, com constante arbitrária C (que pode ser positiva, negativa ou zero):
y = C x^{4}.

Passo 5

A equação é
\frac{dy}{dx}=e^{3x+2y}.
Uso a propriedade do exponencial e^{3x+2y}=e^{3x}e^{2y} e separo as variáveis:
e^{-2y}\,dy = e^{3x}\,dx.
Integro ambos os lados:
\int e^{-2y}\,dy = \int e^{3x}\,dx.
Calculo cada integral. Para o lado esquerdo, uma primitiva de e^{-2y} é -\tfrac{1}{2}e^{-2y} porque \dfrac{d}{dy}\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2y}\big)=e^{-2y}. Para o lado direito, \int e^{3x}\,dx=\tfrac{1}{3}e^{3x}. Assim
-\tfrac{1}{2}e^{-2y} = \tfrac{1}{3}e^{3x} + C.
Multiplico por -2 e renomeio a constante para obter forma mais simples:
e^{-2y} = -\tfrac{2}{3}e^{3x} + C_1.
Se desejar isolar y, tomo logaritmo (lembrando das restrições de sinal na constante):
-2y = \ln\!\big(C_1 - \tfrac{2}{3}e^{3x}\big),
logo
y = -\tfrac{1}{2}\ln\!\big(C_1 - \tfrac{2}{3}e^{3x}\big),
onde C_1 é constante arbitrária (ajustada pelo sinal de multiplicação).

Passo 6

A equação original é
e^{x}\frac{dy}{dx}=e^{-y}+e^{-2x-y}.
No lado direito fatoro e^{-y}:
e^{-y}+e^{-2x-y}=e^{-y}\big(1+e^{-2x}\big).
Dividindo ambos os lados por e^{x} e multiplicando por e^{y} para separar as variáveis, obtenho
\frac{dy}{dx} = e^{-x-y}\big(1+e^{-2x}\big) \quad\Longrightarrow\quad e^{y}\frac{dy}{dx} = e^{-x}\big(1+e^{-2x}\big).
Agora escrevo em forma de diferenciais:
e^{y}\,dy = e^{-x}\big(1+e^{-2x}\big)\,dx.
Integro ambos os lados:
\int e^{y}\,dy = \int e^{-x}\,dx + \int e^{-x}e^{-2x}\,dx.
As integrais do lado direito são \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} e \int e^{-3x}\,dx = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}. A integral do lado esquerdo é e^{y}. Portanto
e^{y} = -e^{-x} - \tfrac{1}{3}e^{-3x} + C.
Podemos reescrever a solução explícita isolando y:
y = \ln\!\big(C - e^{-x} - \tfrac{1}{3}e^{-3x}\big),
onde C é constante de integração e o argumento do logaritmo deve ser positivo para y real.

Passo 7

Temos a EDO linear separável
\frac{dQ}{dt}=k(Q-70),
com k constante. Separe variáveis dividindo por Q-70:
\frac{1}{Q-70}\,dQ = k\,dt.
Integro ambos os lados:
\int \frac{1}{Q-70}\,dQ = \int k\,dt.
As integrais dão \ln|Q-70| = kt + C. Exponenciando e renomeando a constante multiplicativa:
|Q-70| = C_1 e^{kt}.
Absorvendo o sinal na constante C arbitrária, a solução geral é
Q(t) = 70 + C e^{kt},
onde C é uma constante real determinada pela condição inicial (se houver).

Resposta

y(x)=-\dfrac{1}{5}\cos(5x)+C
y(x)=C x^{4}
y(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\!\big(C_1-\dfrac{2}{3}e^{3x}\big)
y(x)=\ln\!\big(C - e^{-x} - \tfrac{1}{3}e^{-3x}\big)
Q(t)=70+Ce^{kt}

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