Esboce o conjunto onde a função f está sendo integrada e inverta a ordem de integração
integral1^0 integral1^x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração da integral e, em seguida, inverter a ordem de integração. Vamos usar conceitos de geometria de regiões em integrais duplas e troca de ordem de integração.

Passo 2

Para esclarecer os limites, trocamos cada integral de sentido: integral1^0 integral1^x f(x,y),dy,dx = integral0^1 integralx^1 f(x,y),dy,dx e . Como fizemos duas trocas de limite (em e em ), os sinais negativos se anulam e obtemos

Passo 3

A região de integração R = (x,y)mid 0 <= x <= 1,; x <= y <= 1 é então dada por
No plano , isso é o triângulo delimitado por , pela reta e pela reta .

Passo 4

Para inverter a ordem, notamos que em integral0^1 integral0^y f(x,y),dx,dy a variável varia de 0 até 1. Para cada fixo, vai de 0 até . Assim, a integral com ordem trocada fica

Resposta

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