Esboce o conjunto onde a função
está sendo integrada e inverta a ordem de integração
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração da integral
e, em seguida, inverter a ordem de integração. Vamos usar conceitos de geometria de regiões em integrais duplas e troca de ordem de integração.
Passo 2
Para esclarecer os limites, trocamos cada integral de sentido:
e
. Como fizemos duas trocas de limite (em
e em
), os sinais negativos se anulam e obtemos
Passo 3
A região de integração
é então dada por
No plano
, isso é o triângulo delimitado por
, pela reta
e pela reta
.
Passo 4
Para inverter a ordem, notamos que em
a variável
varia de 0 até 1. Para cada
fixo,
vai de 0 até
. Assim, a integral com ordem trocada fica