Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy homogêneas.
12 x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy homogênea
12\,x^{2}y'' + x\,y' + 2\,y = 0.
O conteúdo aqui é a equação de Cauchy–Euler, e o truque é assumir uma solução do tipo y = x^{m} e transformar a EDO numa equação indicial para encontrar os valores de m.

Passo 2

Assumindo
y = x^{m},
temos
y' = m\,x^{m-1}, \qquad y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na EDO original,

Passo 3

12\,x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] + x\bigl[m\,x^{m-1}\bigr] + 2\,x^{m} = 0
simplifica para
\bigl[12\,m(m-1) + m + 2\bigr]x^{m} = 0.
Como x^{m}\neq0 para x\neq0, obtemos a equação indicial
12\,m(m-1) + m + 2 = 0.

Passo 4

Expandindo e organizando,
12\,m^{2} - 12\,m + m + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 12\,m^{2} - 11\,m + 2 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
m = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^{2} - 4\cdot12\cdot2}}{2\cdot12} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 96}}{24} = \frac{11 \pm 5}{24}.
Logo
m_{1} = \frac{11+5}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}, \qquad m_{2} = \frac{11-5}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}.

Passo 5

Como as raízes m_{1}=\tfrac{2}{3} e m_{2}=\tfrac{1}{4} são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\,x^{\tfrac{2}{3}} + C_{2}\,x^{\tfrac{1}{4}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{\tfrac{2}{3}} + C_{2}\,x^{\tfrac{1}{4}}.

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