Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy homogêneas.
-2 x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+8 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy homogênea
-2\,x^{2}y''-2\,x\,y'+8\,y=0
Para isso, vamos usar a técnica de assumir uma solução do tipo y=x^{m}.

Passo 2

Assumindo y=x^{m}, calculamos
y'=m\,x^{m-1},
y''=m(m-1)\,x^{m-2}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original, obtemos
-2\,x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]\;-\;2\,x\bigl[mx^{m-1}\bigr]\;+\;8\,x^{m}=0
que se simplifica para
-2\,m(m-1)x^{m}-2\,m\,x^{m}+8\,x^{m}=0.
Fatorando x^{m}\neq0, chega-se à equação característica
-2\,m(m-1)-2\,m+8=0.

Passo 4

Desenvolvendo a característica:
-2m^{2}+2m-2m+8=-2m^{2}+8=0
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m^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad m=\pm2.

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas ( m_{1}=2, m_{2}=-2), a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}\,x^{2}+C_{2}\,x^{-2}.

Resposta

y(x)=C_{1}\,x^{2}+C_{2}\,x^{-2}

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