Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy homogêneas.
-x^{2} y^{\prime \prime}-9 x y^{\prime}-30 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de Euler–Cauchy homogênea
-x^{2}y'' -9x\,y' -30y = 0.
O conteúdo é EDO de Cauchy–Euler e vamos usar a substituição típica y=x^{m}.

Passo 2

Para colocar em forma padrão, multiplicamos tudo por -1, obtendo
x^{2}y'' + 9x\,y' + 30y = 0.

Passo 3

Assumimos y=x^{m}. Então
y' = m\,x^{m-1},\quad y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo em
x^{2}y'' + 9x\,y' + 30y = 0
vem
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr) + 9x\bigl(m x^{m-1}\bigr) + 30\,x^{m} = 0,
que gera a equação característica.

Passo 4

A equação característica é
m(m-1) + 9m + 30 = 0
ou seja
m^{2} + 8m + 30 = 0.
Resolvendo
m = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 120}}{2} = -4 \pm i\sqrt{14}.

Passo 5

Para raízes complexas m=\alpha\pm i\beta com \alpha=-4 e \beta=\sqrt{14}, a solução geral é
y(x) = x^{\alpha}\Bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x) + C_{2}\sin(\beta\ln x)\Bigr).
Logo
y(x) = x^{-4}\bigl(C_{1}\cos(\sqrt{14}\ln x) + C_{2}\sin(\sqrt{14}\ln x)\bigr).

Resposta

y(x)=x^{-4}\bigl(C_{1}\cos(\sqrt{14}\ln x)+C_{2}\sin(\sqrt{14}\ln x)\bigr)

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