Um tubo de aço comercial com rugosidade média \varepsilon=0,046 \mathrm{~mm}, 10 \mathrm{~mm} de diâmetro interno e 10 m de comprimento é usado para aquecer um líquido em um processo industrial. O líquido entra no tubo a 25^{\circ} \mathrm{C} com velocidade média de 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e é aquecido até 75^{\circ} \mathrm{C} por um fluxo de calor uniforme fornecido por uma resistência elétrica que envolve a parede externa do tubo. Assumindo que o escoamento é totalmente desenvolvido e considerando as propriedades do líquido \rho=1 \times 10^{3} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu=2 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} /(\mathrm{m} . \mathrm{s}) ; \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=4 \times 10^{3} \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}) e \mathrm{k}=0,48 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}), obtenha:
(a) O fluxo de calor ( \mathrm{q}_{\mathrm{s}}{ }^{\prime \prime} ) a ser fornecido pelo aquecedor ( \mathrm{em} \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} );
(b) A temperatura da superfície do tubo na saída;
(c) A perda de carga total no tubo (em Pa) (obtenha o fator de atrito usando o ábaco de Moody ou uma correlação adequada);
(d) A mínima potência requerida para o escoamento.

Passo 1

A questão trata de escoamento totalmente desenvolvido e turbulento num tubo circular de diâmetro interno D=10\\ \mathrm{mm} e comprimento L=10\\ \mathrm{m}, rugosidade \varepsilon=0{,}046\\ \mathrm{mm}, onde um líquido (com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=2\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, c_p=4000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, k=0{,}48\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}) entra a 25^\circ\mathrm{C} e v=1{,}2\\ \mathrm{m/s}, saindo a 75^\circ\mathrm{C}.
O que precisamos:
– (a) determinar o fluxo de calor superficial q'' via balanço de energia;
– (b) achar a temperatura de superfície de saída usando coeficiente de convecção h;
– (c) calcular a perda de carga total \Delta p pelo fator de atrito turbulento em tubo rugoso;
– (d) obter a potência mínima hidráulica \dot W necessária.

Passo 2

Calcular a vazão mássica \dot m e o fluxo de calor superficial q''.
A área da seção é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}01)^2}{4} = 7{,}853\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2},
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\dot m = \rho\,A\,v = 1000 \times 7{,}853\times10^{-5}\times1{,}2 = 0{,}0942\\ \mathrm{kg/s}.
Pelo balanço de energia no tubo (todo calor vai ao fluido):
q''\,(\pi D L) = \dot m\,c_p\,\Delta T \quad\Longrightarrow\quad q'' = \frac{\dot m\,c_p\,(75-25)}{\pi\,D\,L}.
Substituindo:
q'' = \frac{0{,}0942 \times 4000 \times 50}{\pi\times0{,}01\times10} =6,0\times10^4\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 3

Determinar o coeficiente de convecção h pelo correlação de Dittus–Boelter e achar T_s.
Reynolds e Prandtl:
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D}{\mu} = \frac{1000\times1{,}2\times0{,}01}{2\times10^{-3}} =6000, \quad \mathrm{Pr} = \frac{c_p\,\mu}{k} = \frac{4000\times2\times10^{-3}}{0,48} \approx16{,}7.
Dittus–Boelter ( n=0{,}4 para aquecimento):
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4} \approx74{,}5, \quad h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D} = \frac{74{,}5\times0{,}48}{0{,}01} \approx3578\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Como T_{m,\mathrm{out}}=75^\circ\mathrm{C} e q'' é uniforme,
T_{s,\mathrm{out}} = T_{m,\mathrm{out}} + \frac{q''}{h} = 75 + \frac{6{,}0\times10^4}{3578} \approx91{,}8^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular a perda de carga total usando Darcy–Weisbach e fator de atrito de Swamee–Jain.
Rugosidade relativa: \varepsilon/D=0,046/10=0,0046.
Swamee–Jain:
f = 0{,}25\biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\varepsilon/(3{,}7D)}{} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Bigr)\biggr]^{-2} \approx0{,}0415.
Então
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,v^2}{2} =0{,}0415\times\frac{10}{0{,}01}\times\frac{1000\times1{,}2^2}{2} \approx2,99\times10^4\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Potência mínima de bombeamento (potência hidráulica):
Q = A\,v = 7{,}853\times10^{-5}\times1{,}2 = 9{,}42\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s},
\dot W = \Delta p \,Q = 2,99\times10^4 \times 9{,}42\times10^{-5} \approx2{,}82\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) q''\approx6,0\times10^4\\ \mathrm{W/m^2}
(b) T_{s,\mathrm{out}}\approx91,8^\circ\mathrm{C}
(c) \Delta p\approx2,99\times10^4\\ \mathrm{Pa}
(d) \dot W\approx2,82\\ \mathrm{W}

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