Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes. y^{\prime \prime}+y=\cot x
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + y = \cot x
que é de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes e termo não-homogêneo \cot x. Vamos achar primeiro a solução geral da homogênea e em seguida usar o método de variação de constantes (ou variação de parâmetros) para obter uma particular.
Passo 2
A equação homogênea associada é
y'' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 1 = 0
cuja raízes são r = \pm i. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
No método de variação de parâmetros escolhemos
y_1(x) = \cos x, \quad y_2(x) = \sin x.
O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1.
Passo 4
As fórmulas do método dão
u_1'(x) = -\frac{f(x)\,y_2(x)}{W} = -\cot x\;\sin x = -\cos x,