Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+y=\cot x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + y = \cot x
que é de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes e termo não-homogêneo \cot x. Vamos achar primeiro a solução geral da homogênea e em seguida usar o método de variação de constantes (ou variação de parâmetros) para obter uma particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 1 = 0
cuja raízes são r = \pm i. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

No método de variação de parâmetros escolhemos
y_1(x) = \cos x, \quad y_2(x) = \sin x.
O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1.

Passo 4

As fórmulas do método dão
u_1'(x) = -\frac{f(x)\,y_2(x)}{W} = -\cot x\;\sin x = -\cos x,
u_2'(x) = \frac{f(x)\,y_1(x)}{W} = \cot x\;\cos x = \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{1-\sin^2 x}{\sin x} = \csc x - \sin x.
Integramos para achar u_1 e u_2:
u_1(x) = -\int \cos x\,dx = -\sin x,
u_2(x) = \int (\csc x - \sin x)\,dx = \int \csc x\,dx - \int \sin x\,dx = \ln\bigl|\tan\tfrac{x}{2}\bigr| + \cos x.

Passo 5

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = (-\sin x)\cos x + \bigl(\ln|\tan\tfrac{x}{2}| + \cos x\bigr)\sin x.
Agrupando termos:
y_p = -\sin x\cos x + \sin x\ln\bigl|\tan\tfrac{x}{2}\bigr| + \sin x\cos x = \sin x\,\ln\bigl|\tan\tfrac{x}{2}\bigr|.

Passo 6

Portanto, a solução geral da EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \sin x\,\ln\bigl|\tan\tfrac{x}{2}\bigr|.

Resposta

y(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \sin x\,\ln\bigl|\tan\tfrac{x}{2}\bigr|.

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