Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-y=\ln x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = \ln x,
para x>0. O conteúdo que vamos usar é:
– solução geral da equação homogênea associada,
– método de variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' - y = 0
a equação característica é
r^2 - 1 = 0,
cujas raízes são r = 1 e r = -1. Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, tomamos duas soluções fundamentais
y_1(x)=e^x,\quad y_2(x)=e^{-x}
e calculamos o Wronskiano
W(x)= \begin{vmatrix} e^x & e^{-x}\\\ e^x & -e^{-x} \end{vmatrix} =-2.
A fórmula para a solução particular é
y_p(x)=-y_1(x)\int \frac{y_2(x)\,\ln x}{W(x)}\,dx +y_2(x)\int \frac{y_1(x)\,\ln x}{W(x)}\,dx.

Passo 4

Substituindo y_1,y_2,W em cada integral, temos
y_p(x) =\;e^x\!\int \frac{e^{-x}\ln x}{2}\,dx \;-\;e^{-x}\!\int \frac{e^x\ln x}{2}\,dx =\frac{e^x}{2}\int e^{-x}\ln x\,dx -\frac{e^{-x}}{2}\int e^x\ln x\,dx.

Passo 5

Cada integral dá funções especiais tipo integral exponencial:
\int e^x\ln x\,dx =e^x\ln x-\int\frac{e^x}{x}\,dx =e^x\ln x - \mathrm{Ei}(x),
\int e^{-x}\ln x\,dx =-e^{-x}\ln x+\int\frac{e^{-x}}{x}\,dx =-e^{-x}\ln x + \mathrm{Ei}(-x).
Assim
y_p(x) =-\ln x +\frac{e^x\,\mathrm{Ei}(-x)+e^{-x}\,\mathrm{Ei}(x)}{2}.

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{ y(x)=C_1 e^x + C_2 e^{-x} -\ln x +\frac{e^x\,\mathrm{Ei}(-x)+e^{-x}\,\mathrm{Ei}(x)}{2}, }
com \mathrm{Ei} a integral exponencial e C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados