Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 4y = 3e^{2x}.
O método é encontrar a solução geral como soma da solução homogênea y_h e de uma solução particular y_p (coeficientes indeterminados).

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' - 4y' + 4y = 0
montamos a equação característica
r^2 - 4r + 4 = 0
que tem raiz dupla r = 2. Logo
y_h = (C_1 + C_2 x)\,e^{2x}.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não-homogêneo é 3e^{2x} e r=2 é raiz de multiplicidade 2, multiplicamos a tentativa padrão Ae^{2x} por x^2. Assim propomos
y_p = A\,x^2 e^{2x}.

Passo 4

Calculamos derivadas de y_p:
y_p' = A\bigl(2x + 2x^2\bigr)e^{2x},
y_p'' = A\bigl(2 + 8x + 4x^2\bigr)e^{2x}.

Passo 5

Substituindo em y'' -4y' +4y:
y_p'' -4y_p' +4y_p = A e^{2x}\bigl(2 + 8x + 4x^2 -4(2x+2x^2)+4x^2\bigr) = 2A\,e^{2x}.
Para ter 2A\,e^{2x}=3e^{2x} basta 2A=3, ou seja A=\tfrac32. Então
y_p = \frac{3}{2}\,x^2 e^{2x}.

Passo 6

A solução geral é
y = y_h + y_p = (C_1 + C_2 x)e^{2x} + \frac{3}{2}x^2 e^{2x} = e^{2x}\Bigl(C_1 + C_2 x + \tfrac{3}{2}x^2\Bigr).

Resposta

y = e^{2x}\Bigl(C_1 + C_2 x + \tfrac{3}{2}x^2\Bigr).

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