Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 \sin x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 2\sin x.
O plano é: 1) achar a solução geral da parte homogênea; 2) encontrar uma solução particular para o termo 2\sin x; 3) somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 3y' + 2y = 0.
Formamos a equação característica
r^2 - 3r + 2 = 0
e fatoramos
(r - 1)(r - 2) = 0,
logo as raízes são r=1 e r=2. Portanto a solução geral homogênea é
y_{\mathrm{h}}(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x}.

Passo 3

Para a solução particular, como o termo não homogêneo é 2\sin x, escolhemos o ansatz
y_{\mathrm{p}}(x) = A\cos x + B\sin x,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{\mathrm{p}}:
y_{\mathrm{p}}' = -A\sin x + B\cos x, \qquad y_{\mathrm{p}}'' = -A\cos x - B\sin x.
Substituindo em y'' - 3y' + 2y, obtemos
(-A\cos x - B\sin x) -3(-A\sin x + B\cos x) +2(A\cos x + B\sin x).
Agrupando termos em \cos x e \sin x:
\bigl(-A -3B +2A\bigr)\cos x + \bigl(-B +3A +2B\bigr)\sin x = (A - 3B)\cos x + (3A + B)\sin x.
Isso deve ser igual a 2\sin x + 0\cos x, gerando o sistema
\begin{cases} A - 3B = 0,\\\\ 3A + B = 2. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema, da primeira equação A = 3B. Substituindo na segunda:
3(3B) + B = 2 \quad\Longrightarrow\quad 10B = 2 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{1}{5}, \quad A = 3B = \tfrac{3}{5}.
Logo
y_{\mathrm{p}}(x) = \tfrac{3}{5}\cos x + \tfrac{1}{5}\sin x.
A solução geral é a soma de y_{\mathrm{h}} com y_{\mathrm{p}}.

Resposta

\boxed{y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x} + \tfrac{3}{5}\cos x + \tfrac{1}{5}\sin x.}

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