Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=3 \cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não-homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' = 3\cos x.
O método geral consiste em encontrar a solução complementar y_h da equação homogênea associada e depois uma solução particular y_p usando coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para y_h, resolvemos a equação característica associada a
y'' + 4y' = 0:
essa gera
r^2 + 4r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r+4)=0 \quad\Longrightarrow\quad r=0,\,-4.
Logo,
y_h(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-4x} = C_1 + C_2 e^{-4x}.

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é 3\cos x, assumimos uma solução particular do tipo
y_p(x) = A\cos x + B\sin x.
Calculamos suas derivadas:
y_p' = -A\sin x + B\cos x,
y_p'' = -A\cos x - B\sin x.

Passo 4

Substituindo em y'' + 4y' obtemos
y_p'' + 4y_p' = (-A\cos x - B\sin x) + 4(-A\sin x + B\cos x) = (-A + 4B)\cos x +\,(-B - 4A)\sin x.
Igualando a 3\cos x + 0\sin x vem o sistema
-A + 4B = 3,
-B - 4A = 0.
Da segunda equação B = -4A. Substituindo na primeira:
-A + 4(-4A) = 3 \quad\Longrightarrow\quad -17A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{3}{17},
B = -4\bigl(-\tfrac{3}{17}\bigr) = \tfrac{12}{17}.

Passo 5

Portanto
y_p(x) = -\frac{3}{17}\cos x + \frac{12}{17}\sin x
e a solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 e^{-4x} - \frac{3}{17}\cos x + \frac{12}{17}\sin x.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-4x} - \frac{3}{17}\cos x + \frac{12}{17}\sin x.

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