Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = e^x.
O que precisamos é (1) achar a solução geral da homogênea associada e (2) um particular da não-homogênea, usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Estudamos primeiro a equação homogênea
y'' - y = 0.
A equação característica é
r^2 - 1 = 0,
cuja raízes são r = 1 e r = -1. Logo, a solução geral homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x},
com C_1 e C_2 constantes.

Passo 3

Agora procuramos um particular y_p para
y'' - y = e^x.
Como e^x já está na solução homogênea, tentamos
y_p = A x e^x,
com A constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = A(1 + x)e^x, \qquad y_p'' = A(2 + x)e^x.
Substituindo em y'' - y = e^x
A(2 + x)e^x - A x e^x = 2A e^x = e^x,
logo 2A = 1 e
A = \tfrac12.
Portanto
y_p = \tfrac12\,x e^x.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma de y_h com y_p:
y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + \tfrac12\,x e^x.

Resposta

y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + \tfrac12\,x e^x.

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