Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-4 y=5 \cos 2 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y'' - 4y = 5\cos(2x)
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para resolver vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea é
y_h'' - 4y_h = 0.
Escrevendo a equação característica, temos
r^2 - 4 = 0
cuja raízes são r = 2 e r = -2. Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Para obter uma solução particular y_p do tipo forçante 5\cos(2x), usamos o palpite
y_p = A\cos(2x) + B\sin(2x),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos y_p'':
y_p'' = -4A\cos(2x) - 4B\sin(2x).
Substituindo em y'' - 4y = 5\cos(2x), vem
(y_p'' - 4y_p) = \bigl(-4A - 4A\bigr)\cos(2x) + \bigl(-4B - 4B\bigr)\sin(2x) = -8A\cos(2x) - 8B\sin(2x).
Para isso coincidir com 5\cos(2x), precisamos de
-8A = 5, \quad -8B = 0,
logo
A = -\frac{5}{8}, \quad B = 0.
Assim
y_p = -\frac{5}{8}\cos(2x).

Passo 5

A solução geral da EDO não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y = y_h + y_p = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - \frac{5}{8}\cos(2x).

Resposta

y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - \frac{5}{8}\cos(2x).

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