Resolva o sistema de EDOs de 1{ }^{\text {a }} ordem
\left\{\begin{aligned} \frac{d x}{d t} & =2 x+3 y \\ \frac{d y}{d t} & =3 x+2 y \\ x(0) & =1 \\ y(0) & =0 . \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte sistema de equações diferenciais de primeira ordem e suas condições iniciais:
\begin{cases} \displaystyle \frac{dx}{dt} = 2x + 3y,\\[6pt] \displaystyle \frac{dy}{dt} = 3x + 2y,\\[6pt] x(0)=1,\\[3pt] y(0)=0. \end{cases}
O que o problema pede é encontrar as funções x(t) e y(t) que satisfazem o sistema acima para todo t (isto é, resolver o sistema com as condições iniciais dadas). As informações relevantes que temos são os coeficientes constantes das derivadas e os valores iniciais em t=0.]

Passo 2

Uma maneira simples e elegante de resolver sistemas lineares simétricos como este é formar combinações lineares de x e y que tornem o sistema decoplado (ou seja, que transformem o sistema em duas EDOs independentes). Aqui escolhemos as combinações:
u(t)=x(t)+y(t),\qquad v(t)=x(t)-y(t).
A ideia é que essas combinações aproveitam a simetria dos coeficientes e vão gerar equações separadas para u e v. Agora vamos calcular as derivadas de u e v.

Passo 3

Calcular \dfrac{du}{dt} usando \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Somando as equações do sistema:
\frac{du}{dt}=\frac{d}{dt}(x+y)=\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=(2x+3y)+(3x+2y)=5x+5y=5(x+y)=5u.
Agora calcular \dfrac{dv}{dt} subtraindo as equações:
\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(x-y)=\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dt}=(2x+3y)-(3x+2y)=-x+y=-(x-y)=-v.
Portanto obtivemos um sistema decoplado muito simples:
\frac{du}{dt}=5u,\qquad \frac{dv}{dt}=-v.

Passo 4

Agora resolvemos cada uma das EDOs decopladas. Vou lembrar rapidamente a técnica: para uma equação do tipo \dfrac{dz}{dt}=a z com a constante, separa-se variáveis ou reconhece-se que a solução geral é
z(t)=C e^{a t},
onde C é constante determinada pela condição inicial. Aplicando isso a u e v:
u(t)=C_1 e^{5t},\qquad v(t)=C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes que vamos achar usando as condições iniciais (convertidas para u,v em t=0).

Passo 5

Determinar C_1 e C_2 a partir das condições iniciais. Em t=0 temos x(0)=1 e y(0)=0. Então
u(0)=x(0)+y(0)=1+0=1,\qquad v(0)=x(0)-y(0)=1-0=1.
Como u(0)=C_1 e^{0}=C_1 e v(0)=C_2 e^{0}=C_2, segue que
C_1=1,\qquad C_2=1.
Portanto
u(t)=e^{5t},\qquad v(t)=e^{-t}.

Passo 6

Voltar às variáveis x e y. Dado u=x+y e v=x-y, resolvemos esse sistema linear para x e y. Somando e subtraindo:
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}.
Substituindo as expressões de u(t) e v(t) achadas:
x(t)=\frac{e^{5t}+e^{-t}}{2},\qquad y(t)=\frac{e^{5t}-e^{-t}}{2}.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (checar consistência): em t=0,
x(0)=\frac{1+1}{2}=1,\qquad y(0)=\frac{1-1}{2}=0,
logo as condições iniciais são satisfeitas. Também é fácil checar que essas funções satisfazem as equações diferenciais originais se for necessário (diferenciando e substituindo).

Resposta

x(t)=\dfrac{e^{5t}+e^{-t}}{2}
y(t)=\dfrac{e^{5t}-e^{-t}}{2}

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