O que o problema pede é encontrar as funções x(t) e y(t) que satisfazem o sistema acima para todo t (isto é, resolver o sistema com as condições iniciais dadas). As informações relevantes que temos são os coeficientes constantes das derivadas e os valores iniciais em t=0.]
Passo 2
Uma maneira simples e elegante de resolver sistemas lineares simétricos como este é formar combinações lineares de x e y que tornem o sistema decoplado (ou seja, que transformem o sistema em duas EDOs independentes). Aqui escolhemos as combinações:
u(t)=x(t)+y(t),\qquad v(t)=x(t)-y(t).
A ideia é que essas combinações aproveitam a simetria dos coeficientes e vão gerar equações separadas para u e v. Agora vamos calcular as derivadas de u e v.
Passo 3
Calcular \dfrac{du}{dt} usando \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Somando as equações do sistema:
Portanto obtivemos um sistema decoplado muito simples:
\frac{du}{dt}=5u,\qquad \frac{dv}{dt}=-v.
Passo 4
Agora resolvemos cada uma das EDOs decopladas. Vou lembrar rapidamente a técnica: para uma equação do tipo \dfrac{dz}{dt}=a z com a constante, separa-se variáveis ou reconhece-se que a solução geral é
z(t)=C e^{a t},
onde C é constante determinada pela condição inicial. Aplicando isso a u e v:
u(t)=C_1 e^{5t},\qquad v(t)=C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes que vamos achar usando as condições iniciais (convertidas para u,v em t=0).
Passo 5
Determinar C_1 e C_2 a partir das condições iniciais. Em t=0 temos x(0)=1 e y(0)=0. Então
u(0)=x(0)+y(0)=1+0=1,\qquad v(0)=x(0)-y(0)=1-0=1.
Como u(0)=C_1 e^{0}=C_1 e v(0)=C_2 e^{0}=C_2, segue que
C_1=1,\qquad C_2=1.
Portanto
u(t)=e^{5t},\qquad v(t)=e^{-t}.
Passo 6
Voltar às variáveis x e y. Dado u=x+y e v=x-y, resolvemos esse sistema linear para x e y. Somando e subtraindo:
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}.
Substituindo as expressões de u(t) e v(t) achadas:
Verificação rápida das condições iniciais (checar consistência): em t=0,
x(0)=\frac{1+1}{2}=1,\qquad y(0)=\frac{1-1}{2}=0,
logo as condições iniciais são satisfeitas. Também é fácil checar que essas funções satisfazem as equações diferenciais originais se for necessário (diferenciando e substituindo).