Resolva as EDOs pelo método de variação de parâmetros:
y^prime prime-2 y^prime+y=e^wed>= t /(1+t^wed>= 2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem y''-2y'+y=e^t1+t^2 pelo método de variação de parâmetros. O conteúdo principal é EDO linear não homogênea de 2ª ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral da homogênea, calcular duas soluções fundamentais y1,y2, o Wronskiano W, as funções u1',u2' dadas pela fórmula de variação de parâmetros e, por fim, integrar para obter u1,u2 e montar a solução particular.

Passo 2

Começamos pela equação característica da parte homogênea y''-2y'+y=0:
r^2-2r+1=(r-1)^2=0
Logo a raiz é r=1 dupla, e a solução geral da homogênea é
yh=C1e^t+C2te^t

Passo 3

As duas soluções fundamentais são y1=e^t e y2=te^t. Calculamos o Wronskiano:
W=y1&y2y1'&y2'=e^t&te^te^t&e^t+te^t=e^2t

Passo 4

Pela variação de parâmetros temos as fórmulas
u1'=-y2,f(t)W, u2'=y1,f(t)W,

Passo 5

onde f(t)=dfrace^t1+t^2. Então
u1'=-te^te^2tcdote^t1+t^2=-t1+t^2, u2'=e^te^2tcdote^t1+t^2=11+t^2

Passo 6

Integramos cada um:
u1=-integralt1+t^2dt=-12ln(1+t^2), u2=integral11+t^2dt=arctan t

Passo 7

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2=-tfrac12ln(1+t^2)e^t+(arctan t),t e^t=e^tl(tarctan t-tfrac12ln(1+t^2)r)

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1e^t+C2te^t+e^tl(tarctan t-tfrac12ln(1+t^2)r)

Exercícios relacionados