Considere a região R do plano dada pelo sistema de inequações:
R: x^212 & <= y <= 12 raiz16-x^2 0 & <= x <= 2 raiz3
b) Descreva a região por meio de um sistema de inequações da forma
R:c rho1(theta) <= rho <= rho2(theta) theta1 <= theta <= theta2,
onde (rho, theta) sãoo as coordenadas polares de um ponto do plano.

Passo 1

O enunciado pede que a região R, dada em coordenadas cartesianas por
x^212 <= y <= tfrac12raiz16-x^2, 0<= x<= 2raiz3,
se descreva usando coordenadas polares (rho,theta), isto é, x=rhocostheta e y=rhosintheta.

Passo 2

Precisamos converter cada restrição em função de rho e theta. Começando pela curva inferior:
y=x^212
ou seja
rhosintheta=(rhocostheta)^212
Supondo rho>0, isolamos rho:
rho=12sinthetacos^2theta
Esse será o limite inferior rho1(theta)=tfrac12sinthetacos^2theta

Passo 3

A seguir, a restrição 0<= x<=2raiz3 vira
rhocostheta<=2raiz3
ou seja
rho<=2raiz3costheta
Esse é o limite superior rho2(theta)=tfrac2raiz3costheta

Passo 4

Agora determinamos o intervalo de theta. Primeiro, como x=rhocostheta>=0, temos
-tfracpi2<=theta<=tfracpi2
Para que exista ρ com
rho1(theta)<=rho2(theta),
precisamos de
12sinthetacos^2theta<=2raiz3costheta
que leva a
sin^2theta<=112
No primeiro quadrante isso dá
0<=theta<=arctan12raiz3

Passo 5

Portanto a descrição em coordenadas polares é
R: 0<=theta<=arctanl(tfrac12raiz3r), 12sinthetacos^2theta<=rho<=2raiz3costheta

Resposta

0&<=theta<=arctanl(tfrac12raiz3r), 12sinthetacos^2theta&<=rho<=2raiz3costheta

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