Para quais valores de
cada série é convergente?
Passo 1
Estamos com a série alternada
. O conteúdo aqui é o teste de Leibniz (ou teste da série alternada), e vamos precisar verificar três coisas sobre
: (i)
, (ii)
decrescente e (iii)
quando
.
Passo 2
Primeiro, vemos o limite de
. Como
para
grande, vale
Passo 3
Agora,
exige que
para todo
, ou seja, precisamos de
Passo 4
Em seguida, para ver que
é decrescente em
, podemos olhar na forma contínua:
cuja derivada é
Para todo
com
, temos
e, portanto,
é estritamente decrescente. Assim, a condição (ii) também vale quando
.
Passo 5
Como todas as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas exatamente para
, concluímos que a série
converge (condicionalmente) se, e somente se,
.
Resposta
A série converge condicionalmente para p > -1.