Para quais valores de f cada série é convergente?
sumn=1^infty (-1)^nn+p

Passo 1

Estamos com a série alternada sumn=1^infty (-1)^nn+p. O conteúdo aqui é o teste de Leibniz (ou teste da série alternada), e vamos precisar verificar três coisas sobre bn=1/(n+p): (i) bn>0, (ii) bn decrescente e (iii) bnto0 quando ntoinfty.

Passo 2

Primeiro, vemos o limite de bn. Como n+psim n para n grande, vale
limntoinfty 1n+p = 0 Assim, a condição (iii) está garantida para qualquer p real (exceto nos casos em que a série nem está definida).

Passo 3

Agora, bn>0 exige que n+p>0 para todo n>=1, ou seja, precisamos de
p>-1 Sob essa condição, bn é positivo para todo n.

Passo 4

Em seguida, para ver que bn é decrescente em n, podemos olhar na forma contínua:
f(x)=1x+p,
cuja derivada é
f'(x) = -1(x+p)^2 <0 se e só se x+pneq0 ó
Para todo x>=1 com p>-1, temos x+p>0 e, portanto, bn=f(n) é estritamente decrescente. Assim, a condição (ii) também vale quando p>-1.

Passo 5

Como todas as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas exatamente para p>-1, concluímos que a série sumn=1^infty (-1)^nn+p converge (condicionalmente) se, e somente se, p>-1.

Resposta

A série converge condicionalmente para p > -1.

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