Resolva as EDOs:
(b) y^prime=-(2 x y^3+e^x)3 x^2 y^2+1

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO
y' = -2 x y^3 + e^x3 x^2 y^2 + 1
O conteúdo aqui é reconhecimento de equação exata. Vamos converter pra forma diferencial e testar exatidão.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial, multiplicando ambos os lados por (3 x^2 y^2+1),dx, obtemos
(2 x y^3 + e^x),dx + (3 x^2 y^2 + 1),dy = 0

Passo 3

Definimos
M(x,y)=2 x y^3 + e^x, N(x,y)=3 x^2 y^2 + 1
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=6 x y^2, partial Npartial x=6 x y^2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Por exatidão, existe F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x:
F(x,y)=integral(2 x y^3 + e^x),dx = x^2 y^3 + e^x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Impondo
partial Fpartial y =3 x^2 y^2 + h'(y) stackrel!=N(x,y)=3 x^2 y^2 + 1
vemos que h'(y)=1, logo
h(y)=y
(qualquer constante pode ser adicionada depois).

Passo 6

Assim a função potencial é
F(x,y)=x^2 y^3 + e^x + y,
e a solução geral implícita é dada por
F(x,y)=C

Resposta

x^2 y^3 + y + e^x = C

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