Resolva as EDOs e/ou PVI(k) d yd x=x-yx-y^2
R.: x^22-x y+y^33=C

Passo 1

Neste exercício vamos resolver a EDO dydx=x-yx-y^2. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos precisar escrever a EDO na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 e verificar se ela é exata.

Passo 2

Reescrevemos a EDO multiplicando ambos os lados por (x-y^2),dx e trazendo tudo para o lado esquerdo:
(x - y),dx - (x - y^2),dy = 0
Assim identificamos M(x,y)=x-y e N(x,y)=-(x-y^2).

Passo 3

Conferimos a condição de exatidão calculando
partial M/partial y = -1 e partial N/partial x = -1.
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Construímos a função potencial phi(x,y) integrando M em relação a x:
phi(x,y)=integral(x-y),dx=x^22-x y+h(y)

Passo 5

Derivamos phi em relação a y e igualamos a N:
phiy=-x+h'(y)=-(x-y^2)=-x+y^2,
logo h'(y)=y^2 e integrando vem h(y)=y^33+K.
Portanto
phi(x,y)=x^22-x y+y^33+K

Resposta

tfracx^22-x y+tfracy^33=C

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