Resolva as EDOs e/ou PVI(g) (y^2 cos x) d x+(4+5 y sin x) d y=0
R.: y^5 sin x+y^4=C

Passo 1

Temos a equação diferencial (y^2cos x),dx + (4 + 5ysin x),dy = 0. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Vamos verificar se a equação é exata ou requer um fator integrante.

Passo 2

Definindo M(x,y)=y^2cos x e N(x,y)=4+5ysin x, calculamos:
partial Mpartial y=2ycos x e partial Npartial x=5ycos x. Como não coincidem, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante que dependa só de y. Calculamos
tfracpartial Npartial x-tfracpartial Mpartial yM =5ycos x-2ycos xy^2cos x =3y,
o que depende apenas de y. Assim
mu(y)=expl(integraltfrac3y,dyr)=y^3

Passo 4

Multiplicamos por mu(y)=y^3, obtendo
y^5cos x,dx + (4y^3+5y^4sin x),dy=0
Agora partialpartial y(y^5cos x)=5y^4cos x e partialpartial x(4y^3+5y^4sin x)=5y^4cos x, logo é exata.

Passo 5

Procuramos a função potencial psi(x,y) tal que psix=y^5cos x. Integramos em x:
psi=y^5sin x+h(y)
Depois, psiy=5y^4sin x+h'(y) deve igualar N^*(x,y)=4y^3+5y^4sin x. Daí h'(y)=4y^3 e h(y)=y^4. Assim
psi(x,y)=y^5sin x+y^4

Resposta

y^5sin x+y^4=C

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