Resolva o problema de valor inicial
l partial upartial t+2 partial upartial x=g(x) u(x, 0)=f(x), x in R
Qual a solução do PVI, se f(x)=cos (x) e g(x)=0? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial parcial. Aqui, a gente tem uma equação do tipo partial upartial t + 2 partial upartial x = g(x) com a condição inicial u(x, 0) = f(x), onde f(x) = cos(x) e g(x) = 0. Para resolver isso, vamos usar o método das características, que ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação partial upartial t + 2 partial upartial x = 0. Como g(x) = 0, a equação fica homogênea. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e o método das características é uma maneira eficaz de resolvê-la.

Passo 3

No método das características, buscamos curvas no plano x-t ao longo das quais a solução u(x,t) é constante. Essas curvas são chamadas de características. Para encontrar as características, resolvemos o sistema de equações:
dxdt = 2
Isso vem dos coeficientes da equação original.

Passo 4

Integrando dxdt = 2, temos:
x = 2t + C
Aqui, C é uma constante que determina a família de características. Podemos reescrever isso como:
C = x - 2t
Isso mostra que as características são linhas retas no plano x-t com inclinação 2.

Passo 5

Ao longo de cada característica, a solução u(x,t) permanece constante. Então, podemos escrever:
u(x,t) = f(C) = f(x - 2t)
Como f(x) = cos(x), substituímos:
u(x,t) = cos(x - 2t)

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
u(x, t) = cos(x - 2t)

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