Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial parcial. Aqui, a gente tem uma equação do tipo com a condição inicial , onde e . Para resolver isso, vamos usar o método das características, que ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Como , a equação fica homogênea. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e o método das características é uma maneira eficaz de resolvê-la.
Passo 3
No método das características, buscamos curvas no plano ao longo das quais a solução é constante. Essas curvas são chamadas de características. Para encontrar as características, resolvemos o sistema de equações:
Isso vem dos coeficientes da equação original.
Passo 4
Integrando , temos:
Aqui, é uma constante que determina a família de características. Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que as características são linhas retas no plano com inclinação 2.
Passo 5
Ao longo de cada característica, a solução permanece constante. Então, podemos escrever: