Resolva as EDOs e/ou PVI(e) x^2 y^prime+2 x y=5 y^3
R.: y^2=x2+C x^5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
Nós temos
x^2y' + 2xy = 5y^3
Isso é uma equação de Bernoulli do tipo
y' + P(x)y = Q(x)y^n
com ‎ n=3. Vamos usar a substituição clássica para transformá-la numa EDO linear.

Passo 2

Primeiro, dividimos ambos os lados por x^2 para pôr no formato padrão de Bernoulli:
y' + 2x,y = 5x^2,y^3

Passo 3

Para tratar a parte não linear, usamos a substituição
u = y^1-n = y^-2
Então
u' = -2y^-3y'
Substituindo y' = -tfrac12y^3nu' na equação acima e multiplicando por -2y^-3 depois de reorganizar, chegamos a
x^2nu' - 4xnu = -10

Passo 4

Agora temos uma equação linear em nu. Dividindo por x^2 obtemos
nu' - 4xnu = -10x^2
O fator integrante é
mu(x) = e^integral -4/x,dx = x^-4
Multiplicando tudo por x^-4 reconhecemos o lado esquerdo como a derivada de x^-4nu:
ddxl(x^-4nur) = -10x^-6

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^-4nu = integral -10x^-6,dx = 2x^-5 + C
Voltando nu = y^-2 e isolando y^2:
y^-2 = 2x^-1 + Cx^4 Longrightarrow y^2 = 12/x + Cx^4 = x2 + Cx^5

Resposta

y^2 = x2 + Cx^5

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