Resolva o problema do calor em uma barra infinita com convecção (existe troca de calor da barra com o ambiente)
Aqui
é uma constante.
Passo 1
Temos a equação de calor com advecção
É um PDE linear de difusão com termo convectivo, e vamos usar uma mudança de variável para remover o termo
.
Passo 2
Definimos uma nova função
por
Calculamos as derivadas: primeiro
e
Substituindo na equação original obtemos
ou seja,
satisfaz a equação de calor usual sem convecção.
Passo 3
A solução da equação de calor padrão em
com dado inicial
é a convolução com o núcleo gaussiano:
Passo 4
Voltando à variável original, lembrando que
, temos
Passo 5
Essa fórmula dá a temperatura
para todo
e
, incorporando o efeito de convecção com velocidade
.