Resolva o problema do calor em uma barra infinita com convecção (existe troca de calor da barra com o ambiente)
l partial upartial t=alpha^2 partial^2 upartial x^2+beta partial upartial x u(x, 0)=f(x), x in R
Aqui beta é uma constante.

Passo 1

Temos a equação de calor com advecção
partial upartial t=alpha^2 partial^2 upartial x^2+beta partial upartial x, u(x,0)=f(x), xinR
É um PDE linear de difusão com termo convectivo, e vamos usar uma mudança de variável para remover o termo beta,ux.

Passo 2

Definimos uma nova função w(eta,t) por
w(eta,t)=ul(eta+beta t,,tr)
Calculamos as derivadas: primeiro
partial wpartial t=partial upartial t+betapartial upartial x,
e
partial wpartial eta=partial upartial x, partial^2 wpartial eta^2=partial^2 upartial x^2
Substituindo na equação original obtemos
partial wpartial t=alpha^2partial^2 wpartial eta^2,
ou seja, w satisfaz a equação de calor usual sem convecção.

Passo 3

A solução da equação de calor padrão em R com dado inicial w(eta,0)=f(eta) é a convolução com o núcleo gaussiano:
w(eta,t)=1raiz4pialpha^2tintegral-infty^inftye^-(eta-xi)^24alpha^2t,f(xi),dxi

Passo 4

Voltando à variável original, lembrando que u(x,t)=w(x-beta t,,t), temos
u(x,t)=1raiz4pialpha^2tintegral-infty^inftye^-l((x-beta t)-xir)^24alpha^2t,f(xi),dxi

Passo 5

Essa fórmula dá a temperatura u(x,t) para todo xinR e t>0, incorporando o efeito de convecção com velocidade beta.

Resposta

u(x,t)=1raiz4pialpha^2tintegral-infty^inftyexp!gl(-l(x-beta t-xir)^24alpha^2tgr),f(xi),dxi

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