Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
(1+x^2)^2 y^prime(x)+4 x y(x)=(1+x^2)^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) linear de primeira ordem que você me mandou. A equação é:
(1+x^2)^2 y^prime(x) + 4x y(x) = (1+x^2)^-2
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação na forma padrão e usar o método do fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das EDOs lineares, que é:
y^prime(x) + P(x) y(x) = Q(x)
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por y^prime(x) + 4x(1+x^2)^2 y(x) = 1(1+x^2)^4 :
Agora, identificamos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx , que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
integral 4x(1+x^2)^2 dx
Vamos calcular a integral de integral 4xu^2 dx = 4 cdot 12 integral duu^2 = 2 cdot (-1u) + C = -21 + x^2 + C :
mu(x) = e^ -21 + x^2
Para resolver essa integral, usamos substituição. Seja , então . Reescrevendo a integral:
Portanto,

Passo 4

Com o fator integrante e^ -21 + x^2 y^prime(x) + e^ -21 + x^2 cdot 4x(1+x^2)^2 y(x) = e^ -21 + x^2 cdot 1(1+x^2)^4 encontrado, multiplicamos toda a equação padrão por ele:
ddx ( e^ -21 + x^2 y(x) ) = e^ -21 + x^2 cdot 1(1+x^2)^4
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação se torne a derivada do produto . Assim:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx ( e^ -21 + x^2 y(x) ) dx = integral e^ -21 + x^2 cdot 1(1+x^2)^4 dx :
e^ -21 + x^2 y(x) = integral e^ -21 + x^2 (1+x^2)^4 dx + C
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

A integral no lado direito pode ser complexa para resolver diretamente, então vamos considerar uma solução geral. Supondo que conseguimos resolver a integral, temos:
y(x) = e^21 + x^2 ( integral e^ -21 + x^2 (1+x^2)^4 dx + C )
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = e^21 + x^2 ( integral e^ -21 + x^2 (1+x^2)^4 dx + C )
Onde é a constante de integração.

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