Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) linear de primeira ordem que você me mandou. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação na forma padrão e usar o método do fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das EDOs lineares, que é:
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por
:
Agora, identificamos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Para resolver essa integral, usamos substituição. Seja
, então
. Reescrevendo a integral:
Portanto,
Passo 4
Com o fator integrante
encontrado, multiplicamos toda a equação padrão por ele:
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação se torne a derivada do produto
. Assim:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
A integral no lado direito pode ser complexa para resolver diretamente, então vamos considerar uma solução geral. Supondo que conseguimos resolver a integral, temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.