Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Primeiro, vamos entender do que se trata essa equação. Ela é uma equação diferencial de primeira ordem linear. Isso significa que a derivada de $ y $ (que é $ y’ $) está presente, e a equação pode ser escrita de maneira que $ y’ $ fique isolado. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Vamos começar organizando a equação para ficar no padrão de uma equação linear de primeira ordem. Isso ajuda a identificar claramente os componentes que vamos usar no método do fator integrante.
A equação original é:
Dividindo ambos os lados por $ x $ (já que $ x \neq 0 $) para isolar $ y’ $:
Agora temos a equação no formato padrão:
Onde:
- $ P(x) = \frac{2}{x} $
- $ Q(x) = \frac{e{x{2}}}{x} $
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Substituindo $ P(x) = \frac{2}{x} $:
Integrando:
Então:
Como estamos trabalhando com $ x > 0 $ (para simplificar), podemos escrever:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = x^{2} $:
Simplificando o lado direito:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ x^{2} y $. Isso acontece por causa do fator integrante que escolhemos. Então podemos reescrever:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral no lado direito. Fazendo uma substituição simples:
Seja $ u = x^{2} $, então $ du = 2x , dx $ ou $ \frac{du}{2} = x , dx $.
Substituindo:
Passo 7
Voltando à equação onde estávamos:
Agora, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ x^{2} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante que pode ser determinada se houver uma condição inicial.