Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
x y^prime+2 y=e^x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
x , y' + 2y = e^x^2
Primeiro, vamos entender do que se trata essa equação. Ela é uma equação diferencial de primeira ordem linear. Isso significa que a derivada de $ y $ (que é $ y’ $) está presente, e a equação pode ser escrita de maneira que $ y’ $ fique isolado. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Vamos começar organizando a equação para ficar no padrão de uma equação linear de primeira ordem. Isso ajuda a identificar claramente os componentes que vamos usar no método do fator integrante.
A equação original é:
x , y' + 2y = e^x^2
Dividindo ambos os lados por $ x $ (já que $ x \neq 0 $) para isolar $ y’ $:
x
Agora temos a equação no formato padrão:
x neq 0
Onde:
  • $ P(x) = \frac{2}{x} $
  • $ Q(x) = \frac{e{x{2}}}{x} $

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = \frac{2}{x} $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Integrando:
P(x) = 2x
Então:
mu(x) = e^integral 2x , dx
Como estamos trabalhando com $ x > 0 $ (para simplificar), podemos escrever:
integral 2x , dx = 2 ln |x|

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = x^{2} $:
mu(x) = x^2
Simplificando o lado direito:
x^2 y' + 2x y = x^2 cdot e^x^2x
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ x^{2} y $. Isso acontece por causa do fator integrante que escolhemos. Então podemos reescrever:
x^2 y' + 2x y = x , e^x^2

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
O lado esquerdo simplifica para:
integral ddx (x^2 y) , dx = integral x , e^x^2 , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral no lado direito. Fazendo uma substituição simples:
Seja $ u = x^{2} $, então $ du = 2x , dx $ ou $ \frac{du}{2} = x , dx $.
Substituindo:
u = x^2

Passo 7

Voltando à equação onde estávamos:
x^2 y = 12 e^x^2 + C
Agora, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ x^{2} $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^x^22x^2 + Cx^2
Onde $ C $ é uma constante que pode ser determinada se houver uma condição inicial.

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