Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
2 y^prime(t)+y(t)=3 t^2

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem dada por . Vamos resolver essa equação utilizando métodos de EDOs lineares.
Conteúdo necessário: Conhecimentos sobre EDOs lineares de primeira ordem e o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
y^prime(t) + P(t) y(t) = Q(t)
Para isso, dividimos toda a equação original por 2:
y^prime(t) + 12 y(t) = 32 t^2
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt , que é dado por:
mu(t) = e^integral 12 dt = e^12 t
Calculando a integral:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela fator integrante e^12 t y^prime(t) + e^12 t cdot 12 y(t) = 32 t^2 e^12 t :

Passo 5

A esquerda da equação agora representa a derivada do produto ddt ( e^12 t y(t) ) = 32 t^2 e^12 t . Portanto, podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a integral ddt ( e^12 t y(t) ) dt = integral 32 t^2 e^12 t dt :
e^12 t y(t) = 32 integral t^2 e^12 t dt + C
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral integral t^2 e^12 t dt = 2 t^2 e^12 t - 2 integral 2t e^12 t dt . Para isso, utilizamos o método de integração por partes.
Primeira aplicação da integração por partes:
  • Seja integral t e^12 t dt = 2t e^12 t - 2 integral e^12 t dt = 2t e^12 t - 4 e^12 t + C e integral t^2 e^12 t dt = 2 t^2 e^12 t - 4 ( 2t e^12 t - 4 e^12 t ) + C = 2 t^2 e^12 t - 4t e^12 t + 8 e^12 t + C .
  • Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, calculamos novamente por partes:
  • Seja e .
  • Então, e .
Aplicando a integração por partes:
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 8

Voltando à equação original:
e^12 t y(t) = 32 ( 2 t^2 e^12 t - 4t e^12 t + 8 e^12 t ) + C
Simplificando:
e^12 t y(t) = 3 t^2 e^12 t - 6t e^12 t + 12 e^12 t + C
Dividindo ambos os lados por y(t) = 3 t^2 - 6t + 12 + C e^ - 12 t :

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = 3 t^2 - 6t + 12 + C e^ - 12 t
onde é uma constante que pode ser determinada se houver uma condição inicial.

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