Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem dada por
. Vamos resolver essa equação utilizando métodos de EDOs lineares.
Conteúdo necessário: Conhecimentos sobre EDOs lineares de primeira ordem e o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos toda a equação original por 2:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela fator integrante
:
Passo 5
A esquerda da equação agora representa a derivada do produto
. Portanto, podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral
. Para isso, utilizamos o método de integração por partes.
Primeira aplicação da integração por partes:
- Seja
e . - Então,
e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, calculamos
novamente por partes:
- Seja
e . - Então,
e .
Aplicando a integração por partes:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 8
Voltando à equação original:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante que pode ser determinada se houver uma condição inicial.