Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação no formato padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Em seguida, calculamos o fator integrante (
) usando a fórmula:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos a integral
usando integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
Passo 8
Substituímos a integral resolvida de volta na equação:
Distribuindo o 3:
Passo 9
Isolamos
dividindo todos os termos por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.