Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
d yd t+1t cdot y(t)=3 cos (2 t), t>0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem:
dydt + 1t cdot y(t) = 3 cos(2t), t > 0
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação no formato padrão:
dydt + P(t) cdot y = Q(t)
Aqui, e .

Passo 3

Em seguida, calculamos o fator integrante ( mu(t) = e^integral P(t) , dt ) usando a fórmula:
mu(t) = e^integral 1t , dt = e^ln t = t
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
t cdot dydt + t cdot 1t cdot y = 3 t cos(2t)
Simplificando:
t cdot dydt + y = 3 t cos(2t)

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddt(t cdot y) = 3 t cos(2t) :

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a integral ddt(t cdot y) , dt = integral 3 t cos(2t) , dt :
t cdot y = 3 integral t cos(2t) , dt + C
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos a integral u = t Rightarrow du = dt usando integração por partes. Seja:
dv = cos(2t) , dt Rightarrow v = sin(2t)2
integral t cos(2t) , dt = t cdot sin(2t)2 - integral sin(2t)2 , dt = t sin(2t)2 + cos(2t)4 + C
Aplicando integração por partes:

Passo 8

Substituímos a integral resolvida de volta na equação:
t cdot y = 3 ( t sin(2t)2 + cos(2t)4 ) + C
Distribuindo o 3:
t cdot y = 3t sin(2t)2 + 3 cos(2t)4 + C

Passo 9

Isolamos y(t) = 3 sin(2t)2 + 3 cos(2t)4t + Ct dividindo todos os termos por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = 32 sin(2t) + 3 cos(2t)4 t + Ct
onde é uma constante arbitrária.

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