Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que é linear:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação numa forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. A equação está na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos o fato de que o lado esquerdo se tornou a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 6
Vamos resolver as integrações separadamente. Primeiro, a mais simples:
Agora, para
, usamos integração por partes duas vezes ou reconhecemos que isso leva a termos envolvendo
multiplicado por polinômios em
. Após calcular, encontramos:
Passo 7
Substituindo as integrações de volta na equação:
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: