Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
y^prime(x)-2 y(x)=x^2+e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que é linear:
y^prime(x) - 2 y(x) = x^2 + e^2 x
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação numa forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. A equação está na forma padrão:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
P(x) = -2
Q(x) = x^2 + e^2x

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo mu(x) = e^integral -2 , dx = e^-2x:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^-2x y^prime - 2 e^-2x y = e^-2x (x^2 + e^2x):
ddx [e^-2x y] = e^-2x x^2 + 1
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos o fato de que o lado esquerdo se tornou a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx [e^-2x y] dx = integral (e^-2x x^2 + 1) dx:
e^-2x y = integral e^-2x x^2 dx + integral 1 , dx
Isso nos dá:

Passo 6

Vamos resolver as integrações separadamente. Primeiro, a mais simples:
integral 1 , dx = x + C
Agora, para integral e^-2x x^2 dx = ( -12x^2 - 12x - 14 ) e^-2x + C, usamos integração por partes duas vezes ou reconhecemos que isso leva a termos envolvendo multiplicado por polinômios em . Após calcular, encontramos:

Passo 7

Substituindo as integrações de volta na equação:
e^-2x y = ( -12x^2 - 12x - 14 ) e^-2x + x + C
Agora, isolamos y = ( -12x^2 - 12x - 14 ) + e^2x(x) + C e^2x multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = -12x^2 - 12x - 14 + x e^2x + C e^2x

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