Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
t cdot d yd t+2 y(t)=sin t, t>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você mandou:
t cdot d yd t + 2 y(t) = sin t, t > 0
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das EDOs lineares de primeira ordem, que é:
dydt + P(t) cdot y = Q(t)
Para isso, dividimos todos os termos por dydt + 2t cdot y = sin tt:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) , dt, que é uma função que facilita a resolução da EDO. A fórmula para o fator integrante é:
mu(t) = e^integral 2t , dt = e^2 ln t = t^2
Substituindo :

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação original por t^2 cdot dydt + t^2 cdot 2t cdot y = t^2 cdot sin tt:
t^2 cdot dydt + 2t cdot y = t cdot sin t
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddt (t^2 cdot y) = t cdot sin t:
Essa propriedade nos ajuda a simplificar a resolução da equação.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a integral ddt (t^2 cdot y) , dt = integral t cdot sin t , dt:
t^2 cdot y = -t cdot cos t + sin t + C,
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, isolamos y(t) = -t cdot cos t + sin t + Ct^2 dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = -t cos t + sin t + Ct^2,
onde é uma constante real.

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