Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
O que sabemos e nos foi dado:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - A equação relaciona
, e através de . - Não foi dada nenhuma condição inicial explícita (ou seja, nenhum PVI com
foi informado). Portanto vamos encontrar a solução geral e também mostrar como obter a solução particular se uma condição inicial for fornecida.
Passo 2
Reescrevendo a equação para ficar mais clara:
Isto mostra que a equação pode ser manipulada para colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro — ou seja, as variáveis separam-se. A ideia da separação de variáveis é tratar
e
como diferenciais e escrever uma igualdade do tipo
, para integrar ambos os lados. Vamos aplicar isso.
Passo 3
Separando as variáveis explicitamente:
Explicação do que fizemos: dividimos ambos os lados por
(assumindo momentaneamente
; o caso
será tratado depois) e multiplicamos por
, ficando os termos em
à esquerda e os de
à direita.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
fazer a integral
fazer a integral
uma forma direta é usar a substituição
, daí
. Então
Para o lado direito:
Igualando as integrais (podemos juntar as constantes em uma só constante
):
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Isolando
: multiplicamos por
e exponenciamos.
Escrevendo
como uma constante positiva
, temos
. Tirando o valor absoluto e permitindo uma constante arbitrária
(podendo ser qualquer real, positivo, negativo ou zero), obtemos
Finalmente,
onde
é a constante de integração. Note que o caso
dá a solução constante
, que corresponde à situação
tratada antes.
Passo 6
Verificação rápida (para te deixar mais confiante): derivando a solução encontrada
temos
Agora o lado direito da EDO com essa
dá
que coincide com
. Logo a solução está correta.
Passo 7
Como obter a solução particular de um PVI? Se te derem uma condição inicial
, basta substituir na expressão geral
e isolar
:
Substituindo de volta, a solução particular fica
Resposta
Se dado o PVI