Resolva as EDO’s e os PVI’s:
y^{\prime}=2 x^{2}-x^{2} y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
y' = 2x^{2} - x^{2}y
O que sabemos e nos foi dado:
  • A incógnita é a função \,y(x)\,.
  • A derivada é \,y'=\dfrac{dy}{dx}\,.
  • A equação relaciona \,y'\,, \,y\, e x através de \,y' = 2x^{2} - x^{2}y.
  • Não foi dada nenhuma condição inicial explícita (ou seja, nenhum PVI com \,y(x_{0})=y_{0}\, foi informado). Portanto vamos encontrar a solução geral e também mostrar como obter a solução particular se uma condição inicial for fornecida.

Passo 2

Reescrevendo a equação para ficar mais clara:
\frac{dy}{dx} = x^{2}(2 - y)
Isto mostra que a equação pode ser manipulada para colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro — ou seja, as variáveis separam-se. A ideia da separação de variáveis é tratar \,dy e \,dx como diferenciais e escrever uma igualdade do tipo \,g(y)\,dy = h(x)\,dx\,, para integrar ambos os lados. Vamos aplicar isso.

Passo 3

Separando as variáveis explicitamente:
\frac{dy}{2-y} = x^{2}\,dx
Explicação do que fizemos: dividimos ambos os lados por (2-y) (assumindo momentaneamente 2-y\neq0; o caso 2-y=0 será tratado depois) e multiplicamos por dx, ficando os termos em y à esquerda e os de x à direita.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
fazer a integral
\int \frac{dy}{2-y}
uma forma direta é usar a substituição u=2-y, daí du=-dy. Então
\int \frac{dy}{2-y} = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C_{1} = -\ln|2-y| + C_{1}.
Para o lado direito:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C_{2}.
Igualando as integrais (podemos juntar as constantes em uma só constante C):
-\ln|2-y| = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Isolando y: multiplicamos por -1 e exponenciamos.
\ln|2-y| = -\frac{x^{3}}{3} + C' \quad\Rightarrow\quad |2-y| = e^{C'} e^{-x^{3}/3}.
Escrevendo e^{C'} como uma constante positiva A>0, temos |2-y| = A e^{-x^{3}/3}. Tirando o valor absoluto e permitindo uma constante arbitrária C (podendo ser qualquer real, positivo, negativo ou zero), obtemos
2 - y = C e^{-x^{3}/3}.
Finalmente,
y(x) = 2 - C e^{-x^{3}/3},
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração. Note que o caso C=0 dá a solução constante y(x)\equiv 2, que corresponde à situação 2-y=0 tratada antes.

Passo 6

Verificação rápida (para te deixar mais confiante): derivando a solução encontrada
y(x)=2 - C e^{-x^{3}/3}
temos
y'(x) = C x^{2} e^{-x^{3}/3}.
Agora o lado direito da EDO com essa y
2x^{2} - x^{2}y = 2x^{2} - x^{2}\bigl(2 - C e^{-x^{3}/3}\bigr) = C x^{2} e^{-x^{3}/3},
que coincide com y'(x). Logo a solução está correta.

Passo 7

Como obter a solução particular de um PVI? Se te derem uma condição inicial \,y(x_{0})=y_{0}\,, basta substituir na expressão geral
2 - y_{0} = C e^{-x_{0}^{3}/3}
e isolar C:
C = (2 - y_{0}) e^{x_{0}^{3}/3}.
Substituindo de volta, a solução particular fica
y(x) = 2 - (2 - y_{0})\,e^{-(x^{3}-x_{0}^{3})/3}.

Resposta

y(x)=2 - C e^{-x^{3}/3},\; C\in\mathbb{R}.\n
Se dado o PVI y(x_{0})=y_{0}, então y(x)=2 - (2 - y_{0})\,e^{-(x^{3}-x_{0}^{3})/3}.

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