Exercício 7.1. Determine as soluções não-nulas das seguintes EDO’s de Bernoulli:
Passo 1
Enunciado dado: a equação diferencial ordinária é
O que é pedido: determinar as soluções não-nulas (isto é, com
) dessa equação.
Informações relevantes fornecidas: a EDO é da forma primeira ordem não-linear, com termos envolvendo e
. Não há condições iniciais fornecidas, então buscaremos a família geral de soluções não-nulas.
Informações relevantes fornecidas: a EDO é da forma primeira ordem não-linear, com termos envolvendo
Passo 2
Identificamos a forma útil para resolver: a equação tem o formato
com
,
e
. Há um método padrão (transformação de Bernoulli) que transforma essa equação não linear numa equação linear de primeira ordem. A ideia é fazer uma mudança de variável que elimine o expoente
. Vamos aplicar essa transformação passo a passo.
Passo 3
Escolhemos a mudança de variável padrão para Bernoulli:
Agora precisamos relacionar
com
. Derivando
em relação a
, usando a regra da cadeia:
Reescrevendo, obtemos
Essa expressão vai permitir substituir
na equação original.
Passo 4
Substituímos
na equação original
:
Agora dividimos toda a igualdade por
(isso é válido porque estamos procurando soluções não-nulas, então
):
Lembrando que
, obtemos a equação linear para
:
Passo 5
Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
A forma padrão é
, aqui
e
. Usamos fator integrante
. Multiplicando a equação por
obtemos:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Logo
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Calculamos a integral
. É conveniente usar integração por partes numa forma intermediária. Primeiro calculemos
. Tomando
e
temos
e
. Assim
Portanto
Substituindo na expressão anterior:
Multiplicando por
obtemos
Passo 7
Voltando à variável
, lembrando que
, temos
Invertendo,
Aqui
é uma constante arbitrária real. Devemos observar que essa expressão define soluções não-nulas sempre que o denominador não se anula, ou seja para
tal que
.
Passo 8
Breve verificação rápida (confirmação): defina
e
. Então
e
Calculando
:
logo satisfaz a equação original. Também vale notar que
é solução trivial, mas foi excluída pela condição “não-nula”.