Exercício 7.1. Determine as soluções não-nulas das seguintes EDO’s de Bernoulli:
y^{\prime}+y=x y^{2}

Passo 1

Enunciado dado: a equação diferencial ordinária é y^{\prime}+y=x y^{2}.
O que é pedido: determinar as soluções não-nulas (isto é, com y\not\equiv 0) dessa equação.
Informações relevantes fornecidas: a EDO é da forma primeira ordem não-linear, com termos envolvendo y e y^{2}. Não há condições iniciais fornecidas, então buscaremos a família geral de soluções não-nulas.

Passo 2

Identificamos a forma útil para resolver: a equação tem o formato
y'+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
com P(x)=1, Q(x)=x e n=2. Há um método padrão (transformação de Bernoulli) que transforma essa equação não linear numa equação linear de primeira ordem. A ideia é fazer uma mudança de variável que elimine o expoente n. Vamos aplicar essa transformação passo a passo.

Passo 3

Escolhemos a mudança de variável padrão para Bernoulli:
z=y^{\,1-n}=y^{\,1-2}=y^{-1}.
Agora precisamos relacionar z' com y'. Derivando z=y^{-1} em relação a x, usando a regra da cadeia:
z'=\frac{d}{dx}\big(y^{-1}\big)=-1\cdot y^{-2}\cdot y'=-y^{-2}y'.
Reescrevendo, obtemos
y'=-y^{2}z'.
Essa expressão vai permitir substituir y' na equação original.

Passo 4

Substituímos y'=-y^{2}z' na equação original \,y'+y=xy^{2}\,:
- y^{2} z' + y = x y^{2}.
Agora dividimos toda a igualdade por y^{2} (isso é válido porque estamos procurando soluções não-nulas, então y\neq 0):
- z' + y^{-1} = x.
Lembrando que y^{-1}=z, obtemos a equação linear para z:
- z' + z = x \quad\Longrightarrow\quad z' - z = -x.

Passo 5

Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
z' - z = -x.
A forma padrão é z' + p(x) z = g(x), aqui p(x)=-1 e g(x)=-x. Usamos fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}. Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos:
e^{-x} z' - e^{-x} z = -x e^{-x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto (e^{-x} z). Logo
\frac{d}{dx}\big(e^{-x} z\big) = -x e^{-x}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x} z = \int -x e^{-x}\,dx + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Calculamos a integral \int -x e^{-x}\,dx. É conveniente usar integração por partes numa forma intermediária. Primeiro calculemos \int x e^{-x}\,dx. Tomando u=x e dv=e^{-x}dx temos du=dx e v=-e^{-x}. Assim
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C.
Portanto
\int -x e^{-x}\,dx = -\big(-(x+1)e^{-x}\big)+C = (x+1)e^{-x} + C.
Substituindo na expressão anterior:
e^{-x} z = (x+1)e^{-x} + C.
Multiplicando por e^{x} obtemos
z = x+1 + C e^{x}.

Passo 7

Voltando à variável y, lembrando que z=y^{-1}, temos
\frac{1}{y}=x+1 + C e^{x}.
Invertendo,
y(x)=\frac{1}{x+1 + C e^{x}}.
Aqui C é uma constante arbitrária real. Devemos observar que essa expressão define soluções não-nulas sempre que o denominador não se anula, ou seja para x tal que x+1+Ce^{x}\neq 0.

Passo 8

Breve verificação rápida (confirmação): defina u(x)=x+1+Ce^{x} e y=1/u. Então u'=1+Ce^{x} e
y'=-\frac{u'}{u^{2}}=-\frac{1+Ce^{x}}{u^{2}}.
Calculando y'+y:
y'+y=-\frac{1+Ce^{x}}{u^{2}}+\frac{1}{u}=\frac{-1-Ce^{x}+u}{u^{2}}=\frac{x}{u^{2}}=x\left(\frac{1}{u}\right)^{2}=x y^{2},
logo satisfaz a equação original. Também vale notar que y\equiv 0 é solução trivial, mas foi excluída pela condição “não-nula”.

Resposta

y(x)=\frac{1}{x+1+Ce^{x}},\quad C\in\mathbb{R},\quad \text{com }x\text{ tal que }x+1+Ce^{x}\neq 0.

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