Exemplo 1.7. A função constante
é solução do PVI
. Como
são funções contínuas em qualquer retângulo
, temos que o PVI dado tem uma única solução em qualquer retângulo fechado contendo
em seu interior; e, portanto, tal solução será
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
Pergunta implícita: mostrar que
é solução deste PVI e que é a única solução (no retângulo que contenha
). Informações relevantes do enunciado: a função do lado direito é
e a sua derivada parcial em relação a
é
. Nada mais é pedido além de demonstrar que
é solução e que é única.
Passo 2
Verificar diretamente que
é solução. Primeiro, a derivada de uma função constante é zero, logo
Agora substituímos na equação diferencial:
Portanto o lado direito também vale
. Assim a igualdade
é satisfeita por
. Verificamos também a condição inicial:
que coincide com o enunciado. Conclusão:
é uma solução do PVI.
Passo 3
Explicar por que essa solução é única usando o teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf), de forma didática. O teorema (em linguagem informal) diz: se
e
são contínuas num retângulo
que contém o ponto inicial
, então existe uma única solução do PVI
definida numa vizinhança de
.
Aqui
e calculamos
Ambas as funções
e
são polinômios em
(ou mais simplesmente, funções contínuas) e portanto são contínuas em qualquer retângulo
. Assim as hipóteses do teorema estão satisfeitas em qualquer retângulo contendo
. Pelo teorema, existe uma única solução do PVI naquele retângulo. Como já exibimos explicitamente uma solução (
), essa solução deve ser a única.
Explicação didática de por que a continuidade de
garante unicidade: em um retângulo fechado e limitado
contendo
, a função
é contínua e, por isso, atinge um máximo
em
. Pela fórmula de Taylor ou pelo teorema do valor médio, para
com mesmos
em
vale
Essa desigualdade é a condição de Lipschitz em
com constante
, e a condição de Lipschitz é o que o teorema usa para garantir unicidade (duas soluções com a mesma condição inicial não podem diferir, pois a diferença satisfaria uma desigualdade que força que seja zero). Portanto a unicidade está explicada e justificada.
Passo 4
Mostrar a unicidade também de maneira construtiva, resolvendo explicitamente a EDO linear. Reescrevemos a equação em forma padrão:
Isto é uma equação linear de primeira ordem da forma
com
e
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos uma derivada exata:
Em termos concretos:
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular a integral, note que
. Portanto
Substituindo na expressão anterior:
onde
é constante (absorvemos constantes). Multiplicando por
vem a solução geral:
Aplicamos a condição inicial
:
Logo a única solução que satisfaz a condição inicial é
Essa demonstração construtiva mostra explicitamente que não existe outra solução global além da constante
.
Passo 5
Resumo e intuição final (curta e motivadora): verificamos diretamente que a constante
satisfaz a equação diferencial e a condição inicial; pelo teorema de existência e unicidade (ou pela solução explícita da EDO linear) sabemos que não pode haver outra solução passando por
. Então
é a única solução do PVI em qualquer retângulo que contenha
. Vai dar tudo certo na prova — esse tipo de verificação direta + teorema é exatamente o que costumam pedir.