Resolva as EDOs redutíveis:
7.1 x y^prime prime+y^prime+x=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x y’’ + y’ + x = 0
que é uma equação redutível (não aparece y isolado), então podemos usar a troca p = y’ para diminuir a ordem. Vamos precisar resolver uma EDO linear de primeira ordem em p(x) e depois integrar para voltar a y(x).

Passo 2

Definimos p = y’, logo y’’ = dp/dx. Substituindo na equação original obtemos
x \frac{dp}{dx} + p + x = 0
que é uma EDO de primeira ordem para p.

Passo 3

Reorganizando, temos
x \frac{dp}{dx} + p = -x
Dividindo por x (supondo x≠0) fica
\frac{dp}{dx} + \frac{1}{x}p = -1
Esta é uma EDO linear em p com fator integrante μ(x)=e^{∫(1/x)dx}=x. Multiplicando tudo por x:
\frac{d}{dx}(x p) = -x.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x resulta
x p = -\frac{x^2}{2} + C_1
e portanto
p = y’ = -\frac{x}{2} + \frac{C_1}{x}.

Passo 5

Finalmente, integramos p para obter y(x):
y(x) = ∫\Bigl(-\frac{x}{2} + \frac{C_1}{x}\Bigr)dx = -\frac{x^2}{4} + C_1\ln|x| + C_2

Passo 6

Pronto! Obtivemos a solução geral da EDO original.

Resposta

y(x) = -\tfrac{x^2}{4} + C_1\ln|x| + C_2

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