Resolva as EDOs redutíveis:
Passo 1
O enunciado dá a EDO
x y’’ + y’ + x = 0
que é uma equação redutível (não aparece y isolado), então podemos usar a troca p = y’ para diminuir a ordem. Vamos precisar resolver uma EDO linear de primeira ordem em p(x) e depois integrar para voltar a y(x).
Passo 2
Definimos p = y’, logo y’’ = dp/dx. Substituindo na equação original obtemos
x \frac{dp}{dx} + p + x = 0
que é uma EDO de primeira ordem para p.
Passo 3
Reorganizando, temos
x \frac{dp}{dx} + p = -x
Dividindo por x (supondo x≠0) fica
\frac{dp}{dx} + \frac{1}{x}p = -1
Esta é uma EDO linear em p com fator integrante μ(x)=e^{∫(1/x)dx}=x. Multiplicando tudo por x:
\frac{d}{dx}(x p) = -x.
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a x resulta
x p = -\frac{x^2}{2} + C_1
e portanto
p = y’ = -\frac{x}{2} + \frac{C_1}{x}.
Passo 5
Finalmente, integramos p para obter y(x):
y(x) = ∫\Bigl(-\frac{x}{2} + \frac{C_1}{x}\Bigr)dx = -\frac{x^2}{4} + C_1\ln|x| + C_2
Passo 6
Pronto! Obtivemos a solução geral da EDO original.
Resposta
y(x) = -\tfrac{x^2}{4} + C_1\ln|x| + C_2