Resolva as EDOs separáveis abaixo, encontrando as soluções constantes e não constantes:
d yd x=x^3y^2-y

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo separável. A equação é dydx = x^3y^2 - y. Nosso objetivo é encontrar as soluções dessa equação, tanto as constantes quanto as não constantes. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis x e y, integrar ambos os lados e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis y e x. Queremos ter tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro. Então, multiplicamos ambos os lados por (y^2 - y)dx:
(y^2 - y) dy = x^3 dx

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado da equação.
Integrando o lado esquerdo em relação a y:
integral (y^2 - y) dy = integral y^2 dy - integral y dy = y^33 - y^22
Integrando o lado direito em relação a x:
integral x^3 dx = x^44

Passo 4

Após integrar, igualamos as duas expressões e adicionamos a constante de integração C:
y^33 - y^22 = x^44 + C
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 5

Vamos agora falar sobre as soluções constantes. Para encontrar uma solução constante, assumimos que y não varia com x, ou seja, y = k, onde k é uma constante. Substituindo na equação original:
0 = x^3k^2 - k
Como x^3 não é sempre zero, para que a igualdade seja válida para todo x, o denominador deve ser infinito ou o numerador zero. Como isso não é possível, concluímos que não há soluções constantes para esta equação.

Resposta

A solução geral da EDO é
y^33 - y^22 = x^44 + C
onde C é uma constante real. Além disso, não existem soluções constantes para a equação dada.

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