Resolva as EDOs separáveis abaixo, encontrando as soluções constantes e não constantes:
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo separável. A equação é
. Nosso objetivo é encontrar as soluções dessa equação, tanto as constantes quanto as não constantes. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
, integrar ambos os lados e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Queremos ter tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro. Então, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado da equação.
Integrando o lado esquerdo em relação a
:
Integrando o lado direito em relação a
:
Passo 4
Após integrar, igualamos as duas expressões e adicionamos a constante de integração
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 5
Vamos agora falar sobre as soluções constantes. Para encontrar uma solução constante, assumimos que
não varia com
, ou seja,
, onde
é uma constante. Substituindo na equação original:
Como
não é sempre zero, para que a igualdade seja válida para todo
, o denominador deve ser infinito ou o numerador zero. Como isso não é possível, concluímos que não há soluções constantes para esta equação.
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
é uma constante real. Além disso, não existem soluções constantes para a equação dada.