Nome:
Calcule os valores máximo e mínimo locais da função abaixo, justificando sua resposta com os cálculos:
Calcule os valores máximo e mínimo locais da função abaixo, justificando sua resposta com os cálculos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais da função $ f(x, y) = x e{-2x{2}-2y^{2}} $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar os extremos locais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso nos ajudará a identificar os pontos críticos da função, que são candidatos a máximos ou mínimos locais.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ e $ y $ que fazem com que $ f_x = 0 $ e $ f_y = 0 $.
Para $ f_x = 0 $:
Como $ e{-2x{2}-2y^{2}} $ nunca é zero, temos:
Para $ f_y = 0 $:
Aqui, $ e{-2x{2}-2y^{2}} $ também nunca é zero, então:
Combinando as duas equações, temos que $ x = \pm \frac{1}{2} $ e $ y = 0 $. Portanto, os pontos críticos são $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $ e $ \left(-\frac{1}{2}, 0\right) $.
Passo 4
Vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Primeiro, calculamos as derivadas de segunda ordem:
No ponto $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $:
Calculamos o discriminante $ D $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $ é um máximo local.
No ponto $ \left(-\frac{1}{2}, 0\right) $:
Pela simetria da função, o cálculo será similar e teremos:
Portanto, $ \left(-\frac{1}{2}, 0\right) $ também é um máximo local.
Resposta
A função $ f(x, y) = x e{-2x{2}-2y^{2}} $ possui dois valores máximos locais nos pontos $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $ e $ \left(-\frac{1}{2}, 0\right) $.