Nome:
Calcule os valores máximo e mínimo locais da função abaixo, justificando sua resposta com os cálculos:
f(x, y)=x e^-2 x^2-2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais da função $ f(x, y) = x e{-2x{2}-2y^{2}} $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar os extremos locais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso nos ajudará a identificar os pontos críticos da função, que são candidatos a máximos ou mínimos locais.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ e $ y $ que fazem com que $ f_x = 0 $ e $ f_y = 0 $.
Para $ f_x = 0 $:
x
Como $ e{-2x{2}-2y^{2}} $ nunca é zero, temos:
y
Para $ f_y = 0 $:
fx = 0
Aqui, $ e{-2x{2}-2y^{2}} $ também nunca é zero, então:
fy = 0
Combinando as duas equações, temos que $ x = \pm \frac{1}{2} $ e $ y = 0 $. Portanto, os pontos críticos são $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $ e $ \left(-\frac{1}{2}, 0\right) $.

Passo 4

Vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Primeiro, calculamos as derivadas de segunda ordem:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = e^-2x^2-2y^2 (-8x) (1 - 4x^2) + e^-2x^2-2y^2 (-4) = e^-2x^2-2y^2 ( -8x + 32x^3 -4 )
fyy = partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y (-4xy e^-2x^2-2y^2) = -4x e^-2x^2-2y^2 + 16x y^2 e^-2x^2-2y^2 = e^-2x^2-2y^2 (-4x + 16x y^2)
fxy = partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y (e^-2x^2-2y^2 (1 - 4x^2)) = e^-2x^2-2y^2 (-4y) (1 - 4x^2) = -4y (1 - 4x^2) e^-2x^2-2y^2
No ponto $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $:
(12, 0)
fxx = e^-2(12)^2-0 (-8 cdot 12 + 32 cdot (12)^3 -4 ) = e^-0.5 (-4 + 4 -4) = -4 e^-0.5
fyy = e^-0.5 (-4 cdot 12 + 16 cdot 12 cdot 0 ) = -2 e^-0.5
Calculamos o discriminante $ D $:
fxy = -4 cdot 0 cdot (1 - 4 cdot (12)^2) e^-0.5 = 0
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $ é um máximo local.
No ponto $ \left(-\frac{1}{2}, 0\right) $:
Pela simetria da função, o cálculo será similar e teremos:
D
Portanto, $ \left(-\frac{1}{2}, 0\right) $ também é um máximo local.

Resposta

A função $ f(x, y) = x e{-2x{2}-2y^{2}} $ possui dois valores máximos locais nos pontos $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $ e $ \left(-\frac{1}{2}, 0\right) $.

Exercícios relacionados