Resolva as EDO’s separáveis:
y^{\prime}=y \operatorname{cotg}(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
y' = y\,\operatorname{cotg}(x).
O conteúdo aqui é “EDO separável”: basta escrever y'= \frac{dy}{dx}, separar y e x, e integrar.

Passo 2

Escrevemos
\frac{dy}{dx} = y\,\operatorname{cotg}(x)
e separamos as variáveis colocando todos os y de um lado e todos os x do outro:
\frac{1}{y}\,dy = \operatorname{cotg}(x)\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. À esquerda vem
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\lvert y\rvert,
e à direita
\int \operatorname{cotg}(x)\,dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \ln\bigl\lvert\sin x\bigr\rvert + C.
Logo
\ln\lvert y\rvert = \ln\bigl\lvert\sin x\bigr\rvert + C.

Passo 4

Para tirar o logaritmo, exponenciamos:
\lvert y\rvert = e^C\,\bigl\lvert\sin x\bigr\rvert.
Chamando A=e^C (constante positiva que pode absorver o sinal), obtemos a solução geral
y = A\,\sin x,
onde A é constante real arbitária.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = C\,\sin x,
com C\in\mathbb{R}.

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