Questão 10. Considere a equação diferencial y^{\prime}=k y no intervalo -\infty<x<\infty, onde k é uma constante.
a) Mostre que se \varphi é qualquer solução, e \psi(x)=\varphi(x) \cdot e^{-k x}, então \psi(x)=C, para alguma constante C.
b) Se k<0, mostre que \varphi(x) \rightarrow 0 quando x \rightarrow+\infty;
c) Se k>0, mostre que \varphi(x) \rightarrow+\infty quando x \rightarrow+\infty;
d) O que ocorre se k=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\varphi'(x)=k\,\varphi(x)
em -\infty<x<\infty, com k constante. O conteúdo é resolução de ODE linear de 1ª ordem. Vamos usar o método de fator integrante/função invariante para mostrar que \psi(x)=\varphi(x)e^{-kx} é constante e, a partir daí, estudar o comportamento de \varphi(x).

Passo 2

Defina
\psi(x)=\varphi(x)\,e^{-kx}.
Usando a regra do produto, calculamos
\psi'(x)=\varphi'(x)\,e^{-kx}+\varphi(x)\,\bigl(e^{-kx}\bigr)' =\varphi'(x)\,e^{-kx}-k\,\varphi(x)\,e^{-kx}.
Mas como \varphi'(x)=k\,\varphi(x), segue
\psi'(x)=k\,\varphi(x)\,e^{-kx}-k\,\varphi(x)\,e^{-kx}=0,
logo \psi'(x)=0 implica \psi(x)=C, constante.

Passo 3

Da igualdade \psi(x)=\varphi(x)e^{-kx}=C segue imediatamente a forma geral da solução:
\varphi(x)=C\,e^{kx}.

Passo 4

Se k<0, então
\lim_{x\to+\infty}e^{kx}=0,
pois a exponencial de expoente negativo tende a zero. Como \varphi(x)=C\,e^{kx}, temos
\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=C\cdot0=0.

Passo 5

Se k>0, então
\lim_{x\to+\infty}e^{kx}=+\infty.
Logo
\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=C\cdot(+\infty)=+\infty
(para C>0; em geral \varphi(x) cresce sem limite em módulo).

Passo 6

Se k=0, a equação fica \varphi'(x)=0, cuja única solução é
\varphi(x)=C,
ou seja, \varphi é constante em todo o domínio.

Resposta

a) \psi(x)=\varphi(x)e^{-kx}=C (constante).
b) Se k<0, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=0.
c) Se k>0, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty.
d) Se k=0, \varphi(x) é constante.

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