Resolva as EDO’s separáveis:
e^y sen(2 x)+(e^2 y-y) cos x d yd x=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO separável
e^ysin(2x)+l(e^2y-yr)cos x,dydx=0
O que precisamos é reconhecer que podemos agrupar todos os termos em x com dx e todos os termos em y com dy, e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevendo a EDO e isolando dydx:
l(e^2y-yr)cos x,dydx=-e^ysin(2x)
Dividindo por cos x e por e^2y-y e usando sin(2x)=2sin xcos x, obtemos
dydx =-e^y,2sin xcos x(e^2y-y)cos x =-2,e^ysin xe^2y-y
Agora separamos variáveis:
(e^2y-y),e^-ydy=-2sin x,dx

Passo 3

Antes de integrar, simplificamos o integrando em y:
(e^2y-y),e^-y =e^y-y,e^-y
Logo precisamos calcular
integrall(e^y-y,e^-yr)dy
Divida em duas integrais:
integrale^ydy e integral y,e^-ydy

Passo 4

Calcule as integrais em y:
  1. integrale^ydy = e^y
  2. Para integral y,e^-ydy, use integração por partes com u=y, dv=e^-ydy. Então du=dy, v=-e^-y.
    Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du:
    integral y,e^-ydy = -y,e^-y - integrall(-e^-yr)dy = -y,e^-y + integrale^-ydy = -y,e^-y - e^-y = -(y+1),e^-y
Portanto,
integrall(e^y-y,e^-yr)dy =e^y - l[-(y+1),e^-yr] =e^y + (y+1),e^-y

Passo 5

Integramos o lado em x:
integral -2sin x,dx = 2cos x + C1
Igualando às integrais em y e recolhendo a constante num único C, temos
e^y + (y+1),e^-y = 2cos x + C

Resposta

e^y + (y+1),e^-y = 2cos x + C,
que é a solução geral implícita da EDO.

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