Resolva as EDO’s separáveis:
(4 y+y x^2) y^prime-(2 x+x y^2)=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO separável
l(4y + x^2yr),y' ;-;(2x + x y^2);=;0
O conteúdo é separação de variáveis: vamos isolar y', agrupar termos em y de um lado e em x do outro, e então integrar.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada,
(4y + x^2y),dydx ;=;2x + x y^2 Longrightarrow dydx =x,(2 + y^2)y,(4 + x^2)
Agora separam-se as variáveis:
y2 + y^2,dy ;=; x4 + x^2,dx

Passo 3

Integramos cada lado:
Para o lado esquerdo, use u=2+y^2, du=2y,dy:
integraly2 + y^2,dy =12integralduu =12lnl(2+y^2r)+C1
Para o lado direito, use v=4+x^2, dv=2x,dx:
integralx4 + x^2,dx =12integraldvv =12lnl(4+x^2r)+C2
Igualando,
12ln(2+y^2)=12ln(4+x^2)+C,
onde C=C2-C1.

Passo 4

Multiplicando por 2 e exponenciando,
ln(2+y^2)=ln(4+x^2)+2C Longrightarrow 2+y^2=K,(4+x^2),
com K=e^2C constante arbitrária. Daí
y^2=K,(4+x^2)-2

Resposta

A solução geral é
y^2=K,(4+x^2)-2,
ou equivalentemente
2+y^24+x^2=constante

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