Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(x^x^2)^prime

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^x^2. O conteúdo principal aqui é a diferenciação de funções na forma a(x)^b(x), que a gente resolve transformando em exponencial e usando a regra da cadeia junto com a regra do produto.

Passo 2

Para facilitar, aplicamos o logaritmo natural e escrevemos
f(x)=x^x^2=e^lnl(x^x^2r)=e^x^2ln(x)

Passo 3

Definimos o expoente como g(x)=x^2ln(x). Calculamos g'(x) pela regra do produto entre x^2 e ln(x):
g'(x)=ddx(x^2)cdotln(x)+x^2cdotddx(ln(x)) =2xln(x)+x^2cdot1x =2xln(x)+x

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em f(x)=e^g(x), obtemos
f'(x)=e^g(x)cdot g'(x) =e^x^2ln(x)l(2xln(x)+xr)
Como e^x^2ln(x)=x^x^2, segue
f'(x)=x^x^2l(2xln(x)+xr)

Passo 5

Para simplificar, fatoramos x:
f'(x)=x^x^2,xl(2ln(x)+1r) =x^x^2+1l(2ln(x)+1r)

Resposta

f'(x)=x^x^2l(2xln(x)+xr) = x^x^2+1l(2ln(x)+1r)

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