Resolva as EDOs do tipo da Equação de Bernoulli a seguir.
\frac{d y}{d x}-y=x y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}-y=x y^{2}
e pede que se encontre a solução geral y(x).
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação envolve y, y^{2} e \dfrac{dy}{dx}.
  • É uma equação de primeira ordem não linear por causa do termo x y^{2}.
  • O objetivo é obter a família de soluções com constante arbitrária (solução geral) e observar soluções especiais que possam existir.

Passo 2

Observação didática sobre o método (explicação passo a passo do conceito usado).
  • Existe uma técnica standard para equações do tipo
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
chamada de método de Bernoulli. A ideia é usar a substituição
z=y^{1-n},
que transforma a equação não linear em uma equação linear de primeira ordem em z.
  • Para resolver a equação linear de primeira ordem
\frac{dz}{dx}+p(x)\,z=r(x),
usa-se o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Multiplicando a equação por \mu(x) obtém-se
\frac{d}{dx}\big(\mu(x) z\big)=\mu(x) r(x),
que integra facilmente:
\mu(x) z=\int \mu(x) r(x)\,dx + C.
Vamos aplicar essas ideias ao nosso caso concreto.

Passo 3

Identificar parâmetros e fazer a substituição:
  • Reescrevendo a equação dada em forma padrão,
\frac{dy}{dx}+(-1)\,y = x\,y^{2}.
Portanto P(x)=-1, Q(x)=x e n=2.
  • Usamos a substituição típica para Bernoulli com n=2:
z = y^{1-n}=y^{-1}=\frac{1}{y}.
Calculamos a derivada de z:
\frac{dz}{dx} = -\,y^{-2}\,\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Transformar a equação original em uma equação linear em z.
  • Da relação \dfrac{dz}{dx} = -\dfrac{1}{y^{2}}\dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx} = -y^{2}\frac{dz}{dx}.
  • Substituindo isso em \dfrac{dy}{dx}-y=x y^{2}
- y^{2}\frac{dz}{dx} - y = x y^{2}.
  • Dividindo por y^{2} (válido quando y\neq 0) obtemos
- \frac{dz}{dx} - \frac{1}{y} = x.
  • Usando \dfrac{1}{y}=z obtemos a equação linear
- \frac{dz}{dx} - z = x.
  • Multiplicando por -1 fica mais padrão:
\frac{dz}{dx} + z = -x.
Agora temos uma equação linear de primeira ordem em z com p(x)=1 e r(x)=-x.

Passo 5

Resolver a equação linear para z usando fator integrante.
  • O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
  • Multiplicando a equação por \mu(x):
e^{x}\frac{dz}{dx}+e^{x} z = -x e^{x}.
  • O lado esquerdo é derivada de produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x} z\big) = -x e^{x}.
  • Integramos ambos os lados:
e^{x} z = \int -x e^{x}\,dx + C.
  • Calcular a integral por partes. Tome u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}. Assim
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} = (x-1)e^{x}.
Portanto
\int -x e^{x}\,dx = -(x-1)e^{x} = (1-x)e^{x}.
  • Logo
e^{x} z = (1-x)e^{x} + C.
  • Dividindo por e^{x}:
z = 1 - x + C e^{-x},
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável original y e considerar solução trivial.
  • Lembrando que z=\dfrac{1}{y}, temos (para y\neq 0)
\frac{1}{y} = 1 - x + C e^{-x}.
  • Invertendo,
y(x)=\frac{1}{1 - x + C e^{-x}},
com C\in\mathbb{R}.
  • Além disso, ao dividir por y^{2} no Passo 4 assumimos y\neq 0. Há uma solução constante que foi excluída pela substituição: y(x)\equiv 0. Verificação rápida: para y\equiv 0, a equação original dá 0-0=0, logo y\equiv 0 é, de fato, solução.

Passo 7

Comentário sobre domínio e verificação rápida.
  • A solução y(x)=\dfrac{1}{1 - x + C e^{-x}} está definida onde o denominador não se anula, isto é, em intervalos onde
1 - x + C e^{-x}\neq 0.
  • Verificação simbólica curta: se z=1-x+C e^{-x} então z'=-1 - C e^{-x}. Como y=1/z,
\frac{dy}{dx} = -\frac{z'}{z^{2}} = \frac{1 + C e^{-x}}{z^{2}}.
Calculando \dfrac{dy}{dx}-y obtemos
\frac{1 + C e^{-x}}{z^{2}} - \frac{1}{z} = \frac{1 + C e^{-x} - z}{z^{2}} = \frac{x}{z^{2}} = x\left(\frac{1}{z}\right)^{2} = x y^{2},
confirmando que a solução satisfaz a equação.

Resposta

y(x)\equiv 0
y(x)=\dfrac{1}{1 - x + C e^{-x}},\quad C\in\mathbb{R}

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