Resolva as EDOs do tipo da Equação de Bernoulli a seguir.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede que se encontre a solução geral
.
Informações relevantes do enunciado:
- A equação envolve
, e . - É uma equação de primeira ordem não linear por causa do termo
. - O objetivo é obter a família de soluções com constante arbitrária (solução geral) e observar soluções especiais que possam existir.
Passo 2
Observação didática sobre o método (explicação passo a passo do conceito usado).
- Existe uma técnica standard para equações do tipo
chamada de método de Bernoulli. A ideia é usar a substituição
que transforma a equação não linear em uma equação linear de primeira ordem em
.
- Para resolver a equação linear de primeira ordem
usa-se o fator integrante
. Multiplicando a equação por
obtém-se
que integra facilmente:
Vamos aplicar essas ideias ao nosso caso concreto.
Passo 3
Identificar parâmetros e fazer a substituição:
- Reescrevendo a equação dada em forma padrão,
Portanto
,
e
.
- Usamos a substituição típica para Bernoulli com
:
Calculamos a derivada de
:
Passo 4
Transformar a equação original em uma equação linear em
.
- Da relação
obtemos
- Substituindo isso em
dá
- Dividindo por
(válido quando ) obtemos
- Usando
obtemos a equação linear
- Multiplicando por
fica mais padrão:
Agora temos uma equação linear de primeira ordem em
com
e
.
Passo 5
Resolver a equação linear para
usando fator integrante.
- O fator integrante é
- Multiplicando a equação por
:
- O lado esquerdo é derivada de produto:
- Integramos ambos os lados:
- Calcular a integral por partes. Tome
e . Então e . Assim
Portanto
- Logo
- Dividindo por
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável original
e considerar solução trivial.
- Lembrando que
, temos (para )
- Invertendo,
com
.
- Além disso, ao dividir por
no Passo 4 assumimos . Há uma solução constante que foi excluída pela substituição: . Verificação rápida: para , a equação original dá , logo é, de fato, solução.
Passo 7
Comentário sobre domínio e verificação rápida.
- A solução
está definida onde o denominador não se anula, isto é, em intervalos onde
- Verificação simbólica curta: se
então . Como ,
Calculando
obtemos
confirmando que a solução satisfaz a equação.