Calcule derivada:
e^{x \cos x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=e^{x\cos x}.
Informações dadas:
  • A função a derivar é f(x)=e^{x\cos x}.
  • Não há outras condições ou restrições no enunciado.
    O objetivo é encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta fundamental que vamos usar: a regra da cadeia. Ela serve para derivar funções compostas do tipo g(h(x)).
Regra da cadeia (explicação didática):
  • Se F(x)=g(h(x)), onde g e h são funções diferenciáveis, então
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
  • O que isso diz em palavras: derivar a composição é derivar a função externa g avaliando-a na função interna h(x) e depois multiplicar pelo derivado da função interna h'(x).
  • No nosso caso, a função externa é g(u)=e^{u} e a função interna é h(x)=x\cos x. Observação: a derivada de g(u)=e^{u} é g'(u)=e^{u} (a exponencial é igual à sua própria derivada).

Passo 3

Identificar claramente a função interna:
h(x)=x\cos x.
Para aplicar a regra da cadeia precisamos calcular h'(x). Note que h(x) é um produto de duas funções de x: x e \cos x. Portanto vamos usar também a regra do produto.
Regra do produto (explicação didática):
  • Se p(x)=u(x)\cdot v(x), então
p'(x)=u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x).
  • Em palavras: a derivada do produto é (derivada do primeiro vezes o segundo) mais (primeiro vezes derivada do segundo).
  • Aqui temos u(x)=x e v(x)=\cos x.

Passo 4

Calcular as derivadas elementares que precisamos:
  • Derivada de u(x)=x é u'(x)=1.
  • Derivada de v(x)=\cos x é v'(x)=-\sin x. Explicando brevemente: a derivada da função \sin x é \cos x e a derivada de \cos x é -\sin x (padrões básicos que se memorizam).
    Agora aplicamos a regra do produto para h(x)=x\cos x:
h'(x)=1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x).
Simplificando:
h'(x)=\cos x - x\sin x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x)=e^{h(x)} com h'(x) encontrado. Pela regra da cadeia,
f'(x)=e^{h(x)}\cdot h'(x).
Substituindo h(x)=x\cos x e h'(x)=\cos x - x\sin x obtemos a expressão final para a derivada.

Resposta

f'(x)=e^{x\cos x}\bigl(\cos x - x\sin x\bigr)

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