Calcule derivada:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função a derivar é
. - Não há outras condições ou restrições no enunciado.
O objetivo é encontrar, a derivada em relação a .
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta fundamental que vamos usar: a regra da cadeia. Ela serve para derivar funções compostas do tipo
.
Regra da cadeia (explicação didática):
- Se
, onde e são funções diferenciáveis, então
- O que isso diz em palavras: derivar a composição é derivar a função externa
avaliando-a na função interna e depois multiplicar pelo derivado da função interna . - No nosso caso, a função externa é
e a função interna é . Observação: a derivada de é (a exponencial é igual à sua própria derivada).
Passo 3
Identificar claramente a função interna:
Para aplicar a regra da cadeia precisamos calcular
. Note que
é um produto de duas funções de
:
e
. Portanto vamos usar também a regra do produto.
Regra do produto (explicação didática):
- Se
, então
- Em palavras: a derivada do produto é (derivada do primeiro vezes o segundo) mais (primeiro vezes derivada do segundo).
- Aqui temos
e .
Passo 4
Calcular as derivadas elementares que precisamos:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . Explicando brevemente: a derivada da função é e a derivada de é (padrões básicos que se memorizam).
Agora aplicamos a regra do produto para:
Simplificando:
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para
com
encontrado. Pela regra da cadeia,
Substituindo
e
obtemos a expressão final para a derivada.