Resolva as EDOs via método de séries de potências:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial ordinária de primeira ordem
. O conteúdo é resolução de EDOs por série de potências em torno de
. Vamos supor que a solução possa ser escrita como uma série
e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Assumimos a forma em série de potências para
:
Em seguida, calculamos a derivada term a term:
Passo 3
A derivada de
é dado por
Passo 4
Substituímos
e
na EDO
:
Passo 5
Para reunir as potências de
, reindexamos o primeiro somatório trocando
:
Logo,
Passo 6
Pela unicidade da expansão em série de potências, os coeficientes de cada
devem ser zero. Isso fornece a relação de recorrência:
Passo 7
Resolvendo a recorrência a partir de
, obtemos por indução:
Passo 8
Reconhecemos então a série de Taylor de
:
Assim, a solução geral da EDO é
, com
.