Resolva as EDOs via método de séries de potências:
y^prime+y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial ordinária de primeira ordem y' + y = 0. O conteúdo é resolução de EDOs por série de potências em torno de x=0. Vamos supor que a solução possa ser escrita como uma série y(x)=sumn=0^inftyan x^n e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Assumimos a forma em série de potências para y(x):
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
Em seguida, calculamos a derivada term a term:

Passo 3

A derivada de y(x) é dado por
y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^n-1

Passo 4

Substituímos y e y' na EDO y'(x)+y(x)=0:
sumn=1^inftyn,an x^n-1+sumn=0^inftyan x^n=0

Passo 5

Para reunir as potências de x^n, reindexamos o primeiro somatório trocando nmapsto n+1:
sumn=0^infty(n+1)an+1x^n+sumn=0^inftyanx^n=0
Logo,
sumn=0^inftyl[(n+1)an+1+anr]x^n=0

Passo 6

Pela unicidade da expansão em série de potências, os coeficientes de cada x^n devem ser zero. Isso fornece a relação de recorrência:
(n+1)an+1+an=0 Longrightarrow an+1=-ann+1

Passo 7

Resolvendo a recorrência a partir de a0, obtemos por indução:
an=(-1)^na0n!

Passo 8

Reconhecemos então a série de Taylor de e^-x:
y(x)=sumn=0^inftyan x^n=a0sumn=0^infty(-1)^nx^nn!=a0e^-x
Assim, a solução geral da EDO é y(x)=C e^-x, com C=a0.

Resposta

y(x)=C e^-x

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