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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da expressão $ \frac{1}{x} \int_{0}^{\sin(x)} \sqrt{t} , dt $. Vamos usar conceitos de cálculo como limites e integrais para resolver isso. Precisamos entender como a integral se comporta perto de zero e como ela se relaciona com $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral $ \int_{0}^{\sin(x)} \sqrt{t} , dt $. A função $ \sqrt{t} $ é fácil de integrar. A antiderivada de $ \sqrt{t} $ é $ \frac{2}{3} t^{3/2} $. Então, avaliando a integral de 0 até $ \sin(x) $:
Passo 3
Agora, substituímos a integral resolvida na expressão original do limite:
Passo 4
Para resolver esse limite, precisamos entender como $ \sin(x) $ se comporta quando $ x $ está perto de 0. Sabemos que, para valores pequenos de $ x $, $ \sin(x) \approx x $. Então, podemos aproximar $ \sin(x) $ por $ x $ quando $ x $ tende a 0.
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
Passo 6
Agora, observamos que $ x^{1/2} $ é a raiz quadrada de $ x $, e quando $ x $ se aproxima de 0, $ x^{1/2} $ também se aproxima de 0. Portanto:
Resposta
O limite é igual a $ 0 $.