(1,0 ponto) A partir da análise da equação
partial upartial t=alpha partial^2 upartial x^2
se a concentração u(x, t) é dada em kg / m^3, em qual unidade a grandeza alpha é expressa no Sistema Internacional de Unidades (SI)? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que descreve como uma concentração $ u(x, t) $ muda no tempo e no espaço:
u(x, t)
Aqui, $ u(x, t) $ está dado em $ \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} $, que é a unidade de concentração. A pergunta é: em qual unidade a constante $ \alpha $ está expressa no Sistema Internacional de Unidades (SI)? Para resolver isso, vamos precisar usar a análise dimensional, que é uma técnica para verificar se as unidades de cada termo na equação estão corretas e equilibradas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as unidades de cada termo na equação. Sabemos que $ u $ tem unidades de $ \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} $.
A derivada parcial de $ u $ em relação ao tempo, $ \frac{\partial u}{\partial t} $, tem unidades de concentração dividida pelo tempo. Então:
u
Aqui, usamos segundos ($ \mathrm{s} $) como a unidade básica de tempo no SI.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o lado direito da equação: $ \alpha \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} $.
Primeiro, a derivada segunda de $ u $ em relação a $ x $, $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} $, tem unidades de concentração dividida por comprimento ao quadrado. Então:
alpha partial^2 upartial x^2
Isso porque derivar em relação a $ x $ uma vez adiciona um fator de $ 1/\mathrm{m} $, e derivar duas vezes resulta em $ 1/\mathrm{m}^{2} $.

Passo 4

Agora, para que a equação seja dimensionalmente consistente, as unidades dos dois lados devem ser iguais. Ou seja:
[ partial upartial t ] = [ alpha partial^2 upartial x^2 ]
Substituindo as unidades que já encontramos:
kgm^3 cdot s = alpha cdot kgm^5

Passo 5

Agora, vamos resolver para encontrar as unidades de $ \alpha $. Podemos cancelar $ \mathrm{kg} $ dos dois lados:
alpha
Para isolar $ \alpha $, multiplicamos ambos os lados por $ \mathrm{m}^{5} $:
kg

Resposta

A constante $ \alpha $ está expressa em $ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} $ no Sistema Internacional de Unidades (SI).

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