(1,0 ponto) A partir da análise da equação
se a concentração
é dada em
, em qual unidade a grandeza
é expressa no Sistema Internacional de Unidades (SI)? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que descreve como uma concentração $ u(x, t) $ muda no tempo e no espaço:
Aqui, $ u(x, t) $ está dado em $ \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} $, que é a unidade de concentração. A pergunta é: em qual unidade a constante $ \alpha $ está expressa no Sistema Internacional de Unidades (SI)? Para resolver isso, vamos precisar usar a análise dimensional, que é uma técnica para verificar se as unidades de cada termo na equação estão corretas e equilibradas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as unidades de cada termo na equação. Sabemos que $ u $ tem unidades de $ \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} $.
A derivada parcial de $ u $ em relação ao tempo, $ \frac{\partial u}{\partial t} $, tem unidades de concentração dividida pelo tempo. Então:
Aqui, usamos segundos ($ \mathrm{s} $) como a unidade básica de tempo no SI.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o lado direito da equação: $ \alpha \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} $.
Primeiro, a derivada segunda de $ u $ em relação a $ x $, $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} $, tem unidades de concentração dividida por comprimento ao quadrado. Então:
Isso porque derivar em relação a $ x $ uma vez adiciona um fator de $ 1/\mathrm{m} $, e derivar duas vezes resulta em $ 1/\mathrm{m}^{2} $.
Passo 4
Agora, para que a equação seja dimensionalmente consistente, as unidades dos dois lados devem ser iguais. Ou seja:
Substituindo as unidades que já encontramos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para encontrar as unidades de $ \alpha $. Podemos cancelar $ \mathrm{kg} $ dos dois lados:
Para isolar $ \alpha $, multiplicamos ambos os lados por $ \mathrm{m}^{5} $:
Resposta
A constante $ \alpha $ está expressa em $ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} $ no Sistema Internacional de Unidades (SI).