Resolva as EDO’s:
(a) y^{\prime \prime}+4 y=5 \operatorname{sen}(2 x)-6 \cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 4y = 5\operatorname{sen}(2x) - 6\cos(2x).
Este é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de decompor a solução em parte homogênea e parte particular, aplicando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada
y'' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0
com raízes
r = \pm 2i.
Portanto a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para
y'' + 4y = 5\operatorname{sen}(2x) - 6\cos(2x).
Como o lado direito é combinação de \operatorname{sen}(2x) e \cos(2x), que já aparecem em y_h, multiplicamos a forma usual por x. Assim, tomamos o ansatz
y_p(x) = x\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos y_p' e y_p'' e substituímos em y'' + 4y:
y_p' = A\cos(2x)-2Ax\operatorname{sen}(2x)+B\sin(2x)+2Bx\cos(2x),
y_p'' = -4A\operatorname{sen}(2x)+4B\cos(2x)+x\bigl(-4A\cos(2x)-4B\operatorname{sen}(2x)\bigr).
Logo,
y_p'' + 4y_p = \bigl(-4A\operatorname{sen}(2x)+4B\cos(2x)\bigr) + x\bigl(-4A\cos(2x)-4B\operatorname{sen}(2x)+4A\cos(2x)+4B\operatorname{sen}(2x)\bigr)
e o termo em x se anula. Restam
y_p''+4y_p = -4A\operatorname{sen}(2x)+4B\cos(2x).
Isto deve ser igual a 5\operatorname{sen}(2x)-6\cos(2x). Igualando coeficientes:
-4A = 5 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{5}{4},
4B = -6 \quad\Longrightarrow\quad B = -\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Com A e B encontrados, a parte particular é
y_p(x) = -\tfrac{5}{4}\,x\cos(2x)\;-\;\tfrac{3}{2}\,x\sin(2x).
Portanto, a solução geral da EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) -\tfrac{5}{4}\,x\cos(2x) -\tfrac{3}{2}\,x\sin(2x).

Resposta

y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) -\frac{5}{4}\,x\cos(2x) -\frac{3}{2}\,x\sin(2x).

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