Resolva os problemas de valores iniciais abaixo:
(c) \left\{\begin{array}{l}2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-18 y=0 \\\ y(0)=3 \\\ y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2y''-5y'-18y=0
sujeita às condições iniciais y(0)=3 e y'(0)=1.
Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois determinar as constantes pela condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y\sim e^{rx}:
2r^2 - 5r - 18 = 0.
Resolvendo essa equação quadrática, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 -4\cdot2\cdot(-18)}}{2\cdot2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 +144}}{4} = \frac{5 \pm 13}{4}.
Assim obtemos as raízes
r_1 = \frac{5+13}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}, \quad r_2 = \frac{5-13}{4} = -2.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{\tfrac{9}{2}x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'(x). Derivando:
y'(x) = C_1\,\frac{9}{2} e^{\tfrac{9}{2}x} + C_2\,(-2) e^{-2x}.

Passo 5

Agora impomos x=0:
  1. De y(0)=3 vem
C_1 + C_2 = 3.
  1. De y'(0)=1 vem
\frac{9}{2}C_1 -2C_2 = 1.
Resolvendo esse sistema, isolamos C_2 = 3 - C_1 e substituímos na segunda:
\frac{9}{2}C_1 -2(3 - C_1) = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{9}{2}C_1 -6 +2C_1 = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{13}{2}C_1 = 7 \;\Longrightarrow\; C_1 = \frac{14}{13},
e portanto
C_2 = 3 - \frac{14}{13} = \frac{25}{13}.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = \frac{14}{13} e^{\tfrac{9}{2}x} \;+\;\frac{25}{13} e^{-2x}.

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