Resolva os problemas de valores iniciais abaixo:
\left\{\begin{array}{l}2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-18 y=0 \\\ y(0)=3 \\\ y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} 2\,y''-5\,y'-18\,y=0,\\\ y(0)=3,\\\ y'(0)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico e depois ajustar as constantes pela condição inicial.

Passo 2

Formamos o polinômio característico trocando y\mapsto e^{r x}:
2\,r^2 -5\,r -18 =0.
Calculamos o discriminante
\Delta = (-5)^2 -4\cdot2\cdot(-18) =25 +144 =169,
logo as raízes são
r = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2\cdot2} = \frac{5 \pm 13}{4},
isto é
r_1 = \frac{5+13}{4} = \frac{18}{4} = \tfrac92, \quad r_2 = \frac{5-13}{4} = -2.

Passo 3

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = C_1\,e^{\tfrac92 x} + C_2\,e^{-2x}.

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'(x). Derivando, obtemos
y'(x) = C_1\cdot \tfrac92\,e^{\tfrac92 x} \;+\; C_2\cdot(-2)\,e^{-2x}.

Passo 5

Agora impomos y(0)=3 e y'(0)=1:
y(0)=C_1 + C_2 = 3,
y'(0)= \tfrac92\,C_1 -2\,C_2 = 1.
Isso gera o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 3,\\\ \tfrac92\,C_1 -2\,C_2 = 1. \end{cases}

Passo 6

Resolvendo o sistema, da primeira equação C_2 = 3 - C_1. Substituindo na segunda:
\tfrac92\,C_1 -2\,(3 - C_1) =1 \;\Longrightarrow\; \tfrac92\,C_1 -6 +2\,C_1 =1 \;\Longrightarrow\; \frac{13}{2}\,C_1 =7 \;\Longrightarrow\; C_1 = \frac{14}{13},
e então
C_2 = 3 - \frac{14}{13} = \frac{39-14}{13} = \frac{25}{13}.

Resposta

y(x) = \frac{14}{13}\,e^{\tfrac92 x} \;+\; \frac{25}{13}\,e^{-2x}.

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