Resolva as EDs abaixo usando a substituição adequada.
\left(x y+y^{2}\right) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
(xy + y^2)\,dx - x^2\,dy = 0.
Note que M(x,y)=xy+y^2 e N(x,y)=-x^2 são homogêneos de grau 2, então a EDO é homogênea e admite a substituição
y = v\,x.

Passo 2

Para implementar a substituição, primeiro colocamos a EDO na forma dy/dx. Dividindo tudo por dx e por x^2, obtemos
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{xy+y^2}{x^2} \;=\;\frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2}.
Repare que o lado direito depende apenas de y/x, confirmando a homogeneidade.

Passo 3

Fazendo y = v\,x implica
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na EDO:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2} = v + v^2.
Cancelando o termo v, sobra
x\,\frac{dv}{dx} = v^2.

Passo 4

A equação x\,dv/dx = v^2 é separável. Escrevemos
\frac{dv}{v^2} = \frac{dx}{x},
e integramos ambos os lados:
\int v^{-2}\,dv = \int x^{-1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{v} = \ln|x| + C.

Passo 5

Voltando à variável y usando v = y/x, temos
-\,\frac{1}{(y/x)} = \ln|x| + C \;\Longrightarrow\; -\,\frac{x}{y} = \ln|x| + C \;\Longrightarrow\; \frac{x}{y} + \ln|x| = C',
onde C' é nova constante de integração. Essa é a solução implícita geral.

Resposta

\frac{x}{y} + \ln|x| = C.

Exercícios relacionados