1. (2.0 pt.) Resolva o problema de valor inicial abaixo:
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}+4 y-e^{-x}=0 \\ y(0)=\frac{4}{3} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, com condição inicial. Precisamos resolver
\frac{dy}{dx} + 4y = e^{-x},
com y(0)=\tfrac{4}{3}. Para isso, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão \frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x), onde P(x)=4 e Q(x)=e^{-x}. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 4\,dx} = e^{4x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{4x}\frac{dy}{dx} + 4e^{4x}y = e^{4x}e^{-x} = e^{3x}.
O lado esquerdo é a derivada de y\,e^{4x}, logo
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{4x}\bigr) = e^{3x}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
y\,e^{4x} = \int e^{3x}\,dx = \tfrac{1}{3}e^{3x} + C.

Passo 4

Isolamos y:
y = \tfrac{1}{3}e^{3x}e^{-4x} + C\,e^{-4x} = \tfrac{1}{3}e^{-x} + C\,e^{-4x}.
Usamos a condição y(0)=\tfrac{4}{3}:
\tfrac{1}{3}\cdot1 + C\cdot1 = \tfrac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad C = 1.

Passo 5

Substituindo C=1 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial.

Resposta

y(x) = \tfrac{1}{3}e^{-x} + e^{-4x}.

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